II- — Procédés pour effectuer les développements en séries
26o. Soient x un infiniment petit, y z= J\x) une quantité qui en dépend. Proposons-nous d'en déterminer une valeur approchée, de la forme
et qui ne diffère de la véritable que d'un infiniment petit d'ordre 11 au moins.
Si f"{x) est continue aux environs de x = o, la formule de Maclaurin résoudra la question. Elle donne, en efTet,
y == /(o) + x/' (o) +. . .+ — -^-^— IJ + R„,
Kn étant d'ordre >/i et, par suite, négligeable. Mais cette méthode exige le calcul des dérivées successives de/(^), qui peut être fort pénible. Elle est d'ailleurs inapplicable si /"(x) n'est pas continue aux environs de ^ = o, 11 convient donc d'indiquer d'autres procédés.
!266. Si jK = " -h ^ -h- • • j la valeur approchée de y sera évidemment la somme des valeurs approchées des fonctions partielles u^ (^,
Si l'on veut se borner à calculer la valeur principale de j^, on ne conservera, parmi les fonctions w, v, . . . , que celles dont l'ordre est le moins élevé; on calculera leurs valeurs principales et on les ajoutera ensemble.
Si toutefois ces valeurs principales avaient une somme nulle, ce serait une preuve que l'approximation est insuffisante; il faudrait donc recommencer le calcul en prenant un terme de plus dans le développement de chacune des quantités //, r, ....
Soit, par exemple,
y =: 2 s'\nx — sin 2x -+- x^.
Les qiianlités 2 sin^ et — sin2^ sont du premier ordre; mais la somme de leurs valeurs principales est nulle. Poussant donc l'approximation plus loin, on posera
2 sin jr =: 2^ —
Sin 2X" =: 2.r —
d'où
267. SijK= wc', u et V étant respectivement d'ordre a et ^^ on aura sa valeur approchée en multipliant ensemble les valeurs approchées des quantités a et v et négligeant dans ce produit les termes d'ordre ^ a2. Il suffira évidemment de pousser l'approximation de «jusqu'aux termes d'ordre n — j3, celle de t^ jusqu'aux termes d'ordre n — a.
Le |)remier terme de l'expression de y^ qui constitue sa valeur principale, est évidemment le produit des valeurs principales de u et de kk
