Si 1'= -> soient

f/i= A^«+ .Vj7* -h

des valeurs approchées de u et de i', et soient

w = //i4-R, r = Ci-i-S.

On aura

u Ui __ iiVi — vit y l\çy — ^fU.

V Vi Wi VVi '

v et Vi étant d'ordre Jj, et «, d'ordre a, cette expression sera d'ordre ^ n si l'ordre de R est ^n-\- ^, et si celui de S est ^n — a -h 2 ^.

On aura alors, dans les limites d'approximallon demandées,

u Ui

Gela posé, on effectuera la division de w, par t^, jusqu'au moment où l'on introduirait au quotient des termes de degré ^ n.

Soient (7 = C:rT-|- CrT'-h. . . le quotient de la division, T le reste ; on aura

^=JT

G^rï-f-G'^Y'-H.

Le premier terme du quotient — étant, par hypothèse,

d'ordre > /i, — sera d'ordre > n et pourra être négligé.

On aura donc

y — Cœ-f-^C'xr^..,

avec l'approximation demandée.

Le premier terme de ce développement C^rY, qui est la valeur principale de j', sera évidemment le quotient des termes A^^, B^rP, valeurs principales de u et de v.

Si p >> a, les premiers termes de la suite y, y', ... seront négatifs. Dans ce cas, la formule de Maclaurin n'aurait pas été applicable à la fonction y, car cette fonction, devenant infinie pour x = o, sera discontinue, et ses dérivées également.

Au lieu d'effectuer la division de ù; par v^^ on aurait pu, ce qui est au fond la même chose, poser

y — Cx^ + C'xY-

C, C', . . ., y, y', ... étant des indéterminées. Cela posé, l'équation ^= — i pourrait s'écrire

yv,— u, ou

(Cx^-\- C'xt + ., .) (B^rP-f- B' x'^'-^ , . .)^ kx^-\- K' x^' +

OU, en développant les calculs dans le premier membre,

BC ^P+Y+ . . . = A :r-« -h A' .T°''-4-

En exprimant l'identité des termes du second membre de cette équation avec les termes correspondants du premier membre, on obtiendra une série d'équations de condition qui détermineront G, y, ....

Ainsi, par exemple, les premiers termes

BC^P-^ï et A^* devant être identiques, on aura

BCr=A,

d'où

yr=a — (3, C=:^.

269. Gomme application de cette méthode, proposonsnous de calculer les premiers termes du développement en série de l'expression

Gette fonction ne changeant pas quand x change de signe, le développement ne contiendra que des puissances paires. Posons donc

il viendra, en chassant les dénominateurs et remplaçant e^ par son développement,

Egalant les coefficients des mêmes puissances de x dans les deux membres, on trouvera

équations qui détermineront successivement A, B,, Bo, .... On aura même deux équations pour calculer chacune des quantités B. On trouve ainsi

Bo =

u=', B,= ji, ,. = ''O'

270. Les nombres B,, B.j, ... portent le uoui de nombres de Bernoulli. Us se rencontrent dans une foule de questions d' Analyse. Ils ont, en particulier, une liaison intime avec les sommes de puissances des nombres entiers.

Pour établir cette relation, posons

On aura et pour X — - o

iMais on a d'ailleurs

Ao H- A 1 js'-h . . . -h A a^'* -h . . . ,

en posant

^ i.2...(aH-i) 2 1.2. ..a 1.2 1.2. ..(a — 1)

On aura donc

i^' -+- 2« H- . . . -h (/i — 1 )='= (7(«0o= 1 . 2 . . . a Aa

/i«-+- oc/i^^' ^a(a— i)(a-2)/i'