A/i 2 . 4 ... 2 m 2"' . 1 . 2 . . . wt

Le terme précédent pourra donc s'écrire

2" . 1 . 2 . . . /i dx"- L j . 2 . . . /7i . 1 . 2 . . . ( /i — m) J

et l'on aura, par suite, en ajoutant tous les termes en a", " 2'^I .2. . ./i <^^«^L^ ' i.2...m.i.2...(/i— m)' J

On peut d'ailleurs sans inconvénient étendre la sommation aux valeurs de m qui sont moindres que — > les termes ainsi ajoutés ayant une dérivée /i'^'"*^ nulle. La somme entre paren-

270 PIIEMIÈRK PARTIE. — CHAI'ITHE III.

thèses deviendra égale à (x^ — i)". On aura donc, comme résultat final,

2'M .2. . ./i cïœ" ^ '

Les expressions X,/ sont connues sous le nom de polynômes de Legendre. Elles jouissent de propriétés remarquables, et nous aurons plusieurs fois l'occasion de les retrouver.

274. L'expression y =. -j—^ [a:- — i)" satisfaisant, comme nous l'avons vu (16o), à l'équation dilTérentielle

{x^ — i)y" -h 2 xy' — /i ( /i + I ) j = o,

et X„ n'en différant que par un facteur constant, on aura évidemment

275. Trois polynômes successifs X„,, X„, X„^, sont liés par une relation linéaire que nous allons établir.

Prenons la dérivée par rapport à a de l'équation

{i — 2ax -h a-) 2 — I H-Xja -h. . .-}-X„a"+.. .;

il viendra

(x— a)(i — 2a^-+-a-r'2=:X,4-.. .-h /iX„a"-'4-

Multipliant par i — saj; + a- et remplaçant ensuite

(i — 2ax -t- ex.-) ^

par sa valeur, nous trouverons

= (i — 2ax -h a-)(X, -h. . .4- /i X,ja"~'+. . .),

d'où, en égalant les coefficients de a",

^X,,— X„„., — {n -h i)X„^,— 2Ai^X/,-f- {n — i)X„i,

ou enfin

{n -{- i)X„^, — (2/« -T-i)xXf,-\- /^X,,l— o.