Considérons, comme second exemple, la série

Jm^ {z -^ n — \) {z -\- n) . . .{z -^ n -\r k)

Le terme j^énéral peut se mettre sous la forme

). . .{z-^n^k — \) {z -^ n) . . .{z -\- n -\- k) \ Sommant de i à m toutes ces expressions, il viendra

z{z-hi). . .{z-^ k) {z -\- m) . . .{z -\- m -^ k) y

les autres termes se détruisant deux à deux. Passant à la limite, il viendra

288. Dans le cas beaucoup plus fréquent où l'on n'est pas en mesure de déterminer les sommes 5„, on sait (9) que la condition nécessaire et suffisante pour la convergence est que l'on ait, pour toule valeur de p,

£„ ne croissant pas quand /i croît, et tendant vers zéro pour n = oc.

On aura d'ailleurs, en passant à la limite, pour/? = 00,

\Sn—s\=£n'

La condition de convergence sera évidemment satisfaite si l'on a

I u„+i I -h ...-+- I Un-^p I < e«.

Celte dernière relation, suffisante, mais non nécessaire pour que S converge, exprime que la série à termes réels et

positifs

Tz=|«,|-f-...-Hh/„|-h...,

formée par les modules des termes de S, est elle-même con-

vergente. Si cette circonstance se présente, on dira que la série S est absolument convergente. On dira, au contraire, que cette série S est semi-convergente si elle est convergente, sans que T le soit.

Les propositions suivantes mettront en évidence la dillerence profonde qui existe entre ces deux classes de séries.

289. Théorîsme. — On nUdtère pas la valeur d'une série absolument convergente en changeant r ordre de ses termes.

Soit 5 = «, -f- ^2+. . .-h ^^/i-h. . . la série donnée. Changeons l'ordre de ses termes; soient v,, v^, ... les rangs respectivement occupés dans la nouvelle série s' par les termes w,, ^2, .. .. Soit s\^^ la somme des m premiers termes de s'. Il faut montrer qu'on peut assigner un nombre jj. tel que, si m >- ;j., \s\^^ — s\ devienne moindre que toute quantité 5 fixée d'avance.

Soit /i un entier à déterminer ultérieurement; désignons

par lA le plus grand des entiers Vi, ..., v„. Si //i >> ti., la

■ somme s'^^^ se composera : i" des termes u^., . . ., u,i] 2' d'un

certain nombre d'autres termes u^^ wp, . . . d'indice > n ; soit

n -\-p le plus grand de ces indices.

De l'égalité

Kn —S = S,i—S-h S'„, — S,, — 5„ — 5 + f/a 4- "^ -+- • • .

on déduit

= I 5„ — 5 I H- [ I Un+x I -\- I W«+2 I -h ... 4- I Un^p | ] < 2 £„,

expression qui tend vers zéro quand n tend vers oc. Donc, en choisissant n assez grand, on peut la rendre <C o.

290. Remarque. — On peut, d'une infinité de manières, répartir les termes de s en une infinité de classes contenant chacune une infinité de termes. (Nous pouvons, par exemple, mettre dans une première classe les termes dont rindicc est un

28o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III.

nombre premier; dans une seconde, ceux où il est le produit de deux facteurs premiers, et ainsi de suite.)

Soient Çii, Çi2^ . . • les termes de la classe l^ écrits dans un ordre déterminé : les séries

ti= ^'ii^ <V2-+-- • • {i = h 2, . . ., oo)

seront absolument convergentes, et l'on aura

Soient, en effet, //,„ la somme des m premiers termes de ti^ Sfi celle des n premiers termes de s. Il faut montrer d'abord que, si m tend vers oo, la somme

tend vers zéro, quel que soit/?.

L'entier n étant choisi à volonté, prenons ni assez grand pour que tous ceux des termes Ui, Wo, ..., u,i qui figurent dans ti figurent dans //,„,. Les termes r/,„,^,, ..., ^'i^m+p seront de la forme Wa, ^/p, ..., où les indices a, ^, ... sont >^ n. Soit n -]- q ]e plus grand d'entre eux; on aura

quantité qui tend vers zéro, pour n infini. Considérons, en second lieu, la somme

où /, m seront pris assez grands pour que Sim contienne tous les termes de Sa ; on aura

Slni — '^^n ~ tfrj.-\- «p4-. . .,

a, p, ... étant >> /? ; et, par suite,

Faisons tendre m vers oc: nous aurons à la limite

puis, en faisant tendre / vers 00,

Faisant tendre enfin n vers 00, il viendra

291. Théorème. — La somme d' une série semi-convergente, à termes réels, dépend de V ordre de ces termes; en disposant ceux-ci convenablement, on peut lui donner la valeur que l'on veut.

Soit s =z u^-{-. . .-\- Un-\-' ' ' la série donnée. Puisqu'elle est convergente, on aura

I ^n ^n-hp I "^ ^n

et, en particulier, comme w„^i = Sn^i — Sn-,

I ^n-hp I ^= I ^n-i-p-l ^n-i-p \ <C ^n-hp—l <C £«•

Soient d'ailleurs An et — B;^ la somme des termes positifs et celle des termes négatifs qui sont contenus dans Sn ; on

aura

]im5„= lim(A„— B„) — S.

Mais, d'autre part, la série des modules est divergente par hypothèse. Donc les sommes

<3"l = |«i|, ..., <7n=| «il -+-. ..+ 1 Wrt| = A„+ B,i,

ne tendent pas vers une limite finie, et, comme elles sont positives et vont en croissant, elles tendent vers 00. Les deux conditions que nous venons de trouver,

lim ; A„— B„ I = s, lim | A„4- B„ | = oc,

donnent évidemment

limA.j ^00, lim B„ 7-00.

Soient donc c,, C2, ... les termes positifs, et — ^Z, , — o^o, •••

les termes négatifs de la série s. Les deux sommes Cl 4- C2 + . . . et dy-{- d.2-\-. . .,

considérées séparément, seront infinies.

D'ailleurs, le rang d'un terme quelconque dans l'une de ces séries étant au plus égal à celui qu'il occupe dans la série w, +. . .-h «/„ + . . ., qui résulte de leur réunion, on aura

Cela posé, il est aisé de voir qu'en rangeant convenablement les termes de la série, on pourra lui donner pour somme un nombre M cboisi à volonté.

Prenons, en eOet, dans la suite positive c,, €■>, -•• le nombre de termes strictement nécessaire pour que leur somme surpasse M (ce qui est toujours possible, puisque la somme c< -j- . . . -t- c„4- • • • est infinie), puis dans la suite négative — di, — d^, ... le nombre de termes nécessaire pour ramener la somme au-dessous de M, puis dans la suite positive assez de termes pour lui faire dépasser de nouveau M, etc.

Soient s' la nouvelle série ainsi formée, s'„^ la somme de ses m premiers termes. Les quantités s'^^ — M oscilleront autour de zéro et convergeront d'ailleurs vers cette limite.

En etlet, la différence s',,^ — M est au plus égale en valeur absolue au terme dont l'adjonction a produit le dernier changement de signe dans la suite

Chacun de ces changements de signe exige alternativement l'emploi d'un terme au moins de l'une des suites Cj, Ca, ... ou — di, — «?o, .... Dès que m sera devenu assez grand pour que le nombre des changements de signe qui se sont produits avant le terme s'„^ — M soit >* 2ai, le terme qui a produit le dernier d'entre eux occupera un rang supérieur à n dans celle des suites c,, Co, .... — <i,, — <:/2, . . . à laquelle il appartient; on aura donc

292. Supposons que les termes de la série 5, au lieu d'être réels, comme on l'a admis, soient des quantités complexes

ifn = «« + ^« i-

La série Sw« tendant vers une limite finie c -\- di, ^cin et llbn tendront respectivement vers c et d. D'autre part, la série S | f^„ | = Sy/ôp^ + b'i est divergente, par hypothèse, et, ses termes étant positifs, elle a une somme infinie. Il en sera de même a fortiori de la somme 2(| a,/ 1 H- | ^// 1) dont les termes sont au moins égaux aux siens. Donc, l'une au moins des deux séries 2|«/<|, S|^,i| a une somme infinie. Donc, l'une au moins des deux séries Sa^ et S^„ est semi-convergente. On pourra donc, en modifiant l'ordre des termes de la série 5, donner une valeur arbitraire à sa partie réelle, ou à sa partie imaginaire.

293. Théorème. — Si deux séries s=zYiiin et / = Sr;j sont absolument convergentes, la série a- = Y,Ua,v^ formée par les produits deux à deux de leurs ternies, écrits dans un ordre quelconque, sera absolument convergente et aura pour somme st.

Soit, en effet, o-,,^ la somme des m premiers termes de la série o-, le nombre m étant quelconque, mais suffisant pour qu'on retrouve dans 0-,,^ tous les termes du produit

n étant un nombre donné. On aura

R étant une somme de termes Wa^'p? dans chacun desquels l'un au moins des deux indices a, p sera > n.

Soit R = Uoi^^ -^ '/a'^'p'+ ... et soit n -\- p le plus grand des indices a, J^, a', ji', On aura

^-~St\ = \s„tn—St\-\-\ R|

-t- ( I //, I + . . . + I W„ I ) ( I Vn+X I + • • • + j ^'n+p I )•

Or, les séries S = S | w„ |, T = S | r„ | étant convergentes, par hypothèse on aura

et, d'autre part, Donc

Un+x\ H-. . .-h I «„ + />! <£«, Vn^X I + ... -h I Vn^p I < £'„

\(Jni—St\<.\s^t,i—St\-^ea^-^S.'^^,

quantité dont chaque terme converge vers zéro si n tend vers 00. Mais on peut prendre n aussi grand qu'on veut, à condition de faire croître en même temps m. On aura donc bien, pour m =. go,

lim I o-,„ — 5^ I r= o.

294. Ce théorème ne subsiste évidemment pas si les séries 5 et ^ ne sont pas absolument convergentes. Mais si l'une d'elles seulement, ^, est semi-convergente, on peut le remplacer par le suivant :

La série W qui a pour terme général

est convergente et a pour produit st.

En effet, on a par hypothèse

Cela posé, la somme

W„ = tVi 4- . . . + iv„

est évidemment égale à

Sn tn — W2 ^a — ^ i ( <'/z-l "^ <"« ) — • • •

On en déduit

I W„— .Ç^ I < I s,, tn — .^^ I 4- I "2 I k« i + h'3 I i t'/^-l + ''« I + . . .

< I s,,t„ — st I -h ! ^/2 I s'„-., 4- I '^a I £'„. + . . . H- I W,J £„.

Soit m le plus grand entier contenu dans — • Les quantités £',, ..., £,'^ formant une suite non croissante, on aura, a fortiori,

I W,, - .V^ I < I 5„^„— .Ç^ I -H ( I ^2 I + . . . H- I II m 1 )£;*/«+! < \ii„t,, -Sl\-\- £i£;,.,„+, + £,„£',.

Si n tend vers 00, il en sera de même de m et n — m -f- i .

Donc tous les termes du second membre tendront vers zéro,

et l'on aura

lim|W„ — 5^1 = 0.

295. Si les séries s et / sont toutes deux semi-convergentes, la série W pourra ne plus être convergente; mais, si elle l'est, on aura encore

W = st.

Pour le faire voir, nous nous appuierons sur le lemme suivant :

Si les quantités 5,, . . .^ Sn convergent vers une limite s on aura

|. S^-\- S^-\- . . .-^ Sn

lim — =1:5.

On a, en effet,

d'où

|.Çl — .v|4-...-f- \Sn — S

D'ailleurs, 5) , 5o, ... tendant vers une limite 5, on a

et à la limite, en faisant tendre p vers ce.

Donc

Les quantités £ formant une suite non croissante, on aura, a fortiori, en désignant par), l'entier positif le plus voisin

de y///,

et, en faisant tendre n vers oc,

lim

Les quantités 5,, ..., Sn étant toujours supposées converger vers 5, leurs modules |5,|, ..., \sn\ convergent évidemment vers 1^1. Donc on aura également

lim

Si donc les séries s, /, W sont convergentes, on aura, en désignant respectivement par s^ tn: W„ les sommes de leurs n premiers termes,

s=z hm -,

^ = Iim —

W = Iim 296. Cela posé, on a

Wi 4- . . . -h Wn = Ui tn 4- ( ^/i -t- Ui ) tn-x 4" . . . = 5] tn 4- ^2 ^n— 1 4- . . . 4- 5,j ^1 .

SÉRIKS. 287

Posons

d'où

|/i[x|^£!x, lA-ii-l^e^iL.

On aura, en désignant encore par m le plus grand nombre

entier contenu dans - >

•^1 ^n I • • ' i" ^fn ^n — m-+-l

= ( 5, -h . . . 4- .V,„ ) ^ + .Vi /»■„ 4- ... 4- S,n ka-ni-^'L ,

^in + \ ^n — m ' • • • 1" -^w ^1

et, par suite,

Wi+... + W,t {s^-\~...-^s,n)t m (^i4-...4-^»-;.,)^ n — m Il m n n — tïi n

{Sxk,i-\- . . .4- S„i k,i„i^x ) H~ ( /^n-l-l tn-m +" . . . 4" A/i ^1 )

Passons à la limite pour 7i = ce. Si l'on remarque que

et n — t?i deviennent intinis avec n et que —, ont

pour limite commune ^, on voit que la limite du premier

membre sera

Donc on aura

-ITT „, i:i \'i--« ''^ m'^n — m-\-\) ~^ '^ni-'r\hi-

Or ce second membre tend vers zéro. En effet, son module est au plus égal à

U; I s;, 4- ... 4- I S,„ I E„„,^, 4- Zni+X I ^;,-,^, I 4- ... 4- tn \ ^1 j

^ |5,|4-...4-|.Ç,„| m^, 1^, |4-...-f-|^;,-,„| n — ni^

< m n " '"+* Il - /n n

»o8 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III.

i c I 1 I I ^ j Or, si n tend vers oo, ^—^ '-^ Li^ tendra vers UI,

^m-^K vers zéro.

297. Cherchons à obtenir des règles qui nous permettent de distinguer si une série est ou non convergente.

Considérons à cet effet une série dont le terme général soit un produit de deux facteurs, telle que la suivante :

Cette série sera convergente si la quantité

tend vers zéro pour /i = 00, quel que soit p. Elle sera même absolument convergente si

I a„+i 1 1 w„+, I -h ... 4- I a„+p I I Un^p \

tend également vers zéro.

Cette dernière condition sera certainement satisfaite si : 1° la série Sm^ est absolument convergente; 2" les modules des facteurs a„ ne surpassent pas un nombre fixe A.

On aura en effet, dans ce cas,

quantité qui tend vers zéro pour /i = oc.

Donc, en multipliant les termes d'une série absolument convergente par des facteurs dont les modules ne surpassent pas un nombre fixe, on obtient une nouvelle série de même nature.

Si, de plus, les modules des facteurs a„ ne deviennent jamais inférieurs à un autre nombre fixe <7, leurs inverses ne

pourront surpasser -> et 1 on pourra réciproquement conclure de la convergence absolue de la série Sa;jW„ celle de

la série ^Un- Les deux séries seront donc en même temps absolument convergentes ou non.

!298. Deux autres cas de convergence certaine peuvent être mis en évidence, en mettant l'expression (2) sous la forme suivante :

4- ( Qfin-^p-X— Of^n^p ) {Sn+p-'L — ^/i) "H ... 4" ( or^^-^y — Un+i ) (^«+1 — •?« )| .

Soit M,i le plus grand des nombres \sn^p — Sn\^ ..-, I Sjij^^ — Sn |. L'expression précédente sera au plus égale à

(3) {\an+p\ + |a„+p i— a„+^, I +.. .+ |a„+i — a„+2|)M„.

Cette quantité tendra vers zéro pour n = oo, si l'un des deux facteurs qui la composent tend vers zéro, l'autre restant fini.

!299. Supposons, en premier lieu, avec Diriclilet : 1° Que la série

(4) |ai — «ai 4-- • •4-|^«+i— ^/J + - • •

soit convergente ;

2" Qu'on ait, pour /? = oc,

lima,i=:o;

3" Que les modules des sommes s^^ 82-, ... ne surpassent pas une limite fixe L.

Si ces conditions sont remplies, on aura

z\^ tendant vers zéro.

D'après la seconde hypothèse, y-n^p tendra également vers zéro. Enfin les quantités | Sn^p — Sn 1, • • • et, .par suite, M^ ne surpasseront pas 2L. Il j aura donc convergence.

Le cas particulier le plus intéressant est celui où l'on suppose :

1** Que les quantités a sont positives et décroissantes;

2® Qu'on ait lima„= o; dans ce cas, la série (4), qui se réduit à

(«1 — aa) + («2— «3) 4-- • .,

est évidemment convergente, et a pour somme a, ;

3" Que les quantités w,, ^/o, ... forment une suite périodique, telle que la somme des termes d'une période soit nulle.

Particularisons encore, en supposant que la suite des u se réduise à la suivante,

+ 1 , — I , + I , — I , ... ; nous obtiendrons ce théorème :

Une série

«1 — ag-H «3— «4+- • -1

dont les termes sont positifs et décroissants, et tels que l'on ait Iima;<= o, est toujours convergente.

300. Supposons, en second lieu, avec Abel : 1° Que la série (4) soit convergente; 2° Que la série u^ -{-... -\- Un-\- • • • le soit aussi. L'expression (5) tendra encore vers zéro. On a, d'autre part,

d'où

|a«+/;|<| ai| + A,

A désignant la somme de la série (4).

Donc le premier facteur de (3) restera au-dessous d'un nombre fixe. Quant aux quantités 1 5,^^^ — 5« |, ..., elles seront toutes moindres que £«• Le second facteur tend donc vers zéro, et il y a encore convergence.

La convergence de la série (4) est évidemment assurée s les quantités a,, a^, ... sont réelles, positives et non cro

is-

santés ; dans ce cas particulier, on aura donc le théorème suivant :

Une série convergente reste encore convergente si Von multiplie ses divers termes par des nombres positifs formant une suite non croissante.

301. Les séries absolument convergentes, étant les seules où l'on puisse changer à son gré l'ordre des termes, peuvent seules être employées commodément dans l'analyse. Il importe d'apprendre à les reconnaître. Cette recherche doit se faire sur la série des modules, dont les termes sont réels et positifs. Cette circonstance donne un intérêt particulier à l'étude de la convergence de ce genre de séries, qui va désormais nous occuper exclusivement.

Cette recherche est fondée sur le principe suivant :

Si une série (à termes positifs) YiVn a ses termes plus petits à partir dUm certain rang que ceux d^une série convergente de même nature Hun^ elle sera elle-même convergente.

En effet, si l'on a

on aura a fortiori

Il est d'ailleurs évident qu'on n'altère pas la convergence d'une série en modifiant arbitrairement un certain nombre de termes au début. Il suffît donc que l'inégalité Vn<C Un ait lieu pour toutes les valeurs de n qui surpassent un nombre fixe V.

Si, au contraire, la série Sp^ a ses termes plus grands que ceux de Sm^, et si cette dernière série est divergente, S(^« le sera.

La démonstration est la même, le sens des inégalités étant renversé.

Pour juger de la convergence ou de la divergence d'une série, il conviendra donc de former un tableau de séries convergentes, un autre de séries divergentes, auxquelles on comparera la série donnée.

302. La comparaison avec une progression géométrique nous fournit une première règle simple et suffisante dans un grand nombre de cas :

La série IiUn est convergente si, à partir cV lui certain

rang, on a constamment ^/Un-^ J-, f étant une constante

«< I ; divergente si, à parti/- (V un certain rang, on a

's/ Un y I , d'où Un > I •

Car on a, dans le premier cas,

Un<i f'"^i ^'"^ convergente, et, dans le second,

«„>>]", i i'* divergente.

Le premier cas se présentera, en particulier, si \/un tend pour Al = 00 vers une limite / moindre que i ; car soit /• une quantité quelconque comprise entre / et l'unité; on pourra trouver un nombre v à partir duquel (^/un différera de / d'une quantité moindre en valeur absolue que r — /.A partir de ce moment, on aura constamment \/un<i f-

On voit de même que le second cas se présente si [/Tï^i tend vers une limite >> i .

303. Lorsque la règle précédente ne s'applique plus, on se trouve conduit à chercher de nouvelles séries moins rapidement convergentes (ou divergentes) que les progressions géométriques, pour leur comparer la série donnée.

On peut construire à volonté de semblables séries par les considérations suivantes :

Soit Ml, ..., Mn une suite de quantités positives crois-

santés, et telles que l'on ait lim M// = 00. La série

(6) Mt+ (M2— Ml) 4-. . .-f- (M„- M„,) -4-. . .

sera une série divergente à termes positifs, où la somme Sn des n premiers termes sera M^- La série

M, mJ'^IvM^ mJ~^"'~^\M,, M,+J"^ Zi M„^,iM;

sera, au contraire, convergente ; la somme s,i des n premiers termes a pour valeur ^r^j ri > expression dont la limite s

est-jT-- M,

Réciproquement, toute série à termes positifs pourra être mise sous la forme (6) si elle est divergente, sous la forme (7) si elle est convergente. Les quantités M,, ..., M,, seront déterminées, dans le premier cas, par la condition

dans le second, par les conditions

d'où l'on tire les valeurs

Mi=-, M^^,==-^— .

s s — Sn

301. Nous allons montrer que la suite M<, . , ., M„, . . . permet de construire deux systèmes de séries en nombre illimité, à convergence (ou à divergence) de moins en moins rapide, et dont les séries (7) et (6) ne sont que les premiers termes.

Nous nous appuierons, pour le faire, sur quelques inégalités de la théorie des logarithmes que nous allons établir.

Si :r >> o, on aura

d'où, en posant x = ^^—^ — (y > z),

Mais on a, d'autre part, si o <C ^ < i ,

d'où, en posant x = (jK > ^)j

En prenant les logarithmes dans les deux membres de ces inégalités, il viendra

(8) ^^ < LogjK - Logs < ^-^•

Plus généralement, posons

Log Log<r = Log2«^i Log Log2^ ^ Logg^, ...,

A^x = Log^Loga^. . .Logjj,jr.

On aura, si y^ z^

Log7>Log2, ..., ho^^^y>ho^^z,

appliquant les inégalités (8) à l'ei^pression

Loguy Log(x^i y - Log,^+i ^ = Log ^-— -^ ,

il viendra

E^^^y— < Log,., y - Log,., . < ^^^

SÉllIES. 295

Faisons le produit des inégalités obtenues en posant successivement |Ji = 1 , 2, . . ., m — 1; multiplions encore par l'inégalité (8); il viendra

305. Ces préliminaires posés, nous pouvons établir le théorème suivant :

Théorèm?]. — Soit M,, . . ., M„ une suite de quantités positives satisfaisant aux conditions

i\l„4-i>M/., lim M„=oo,

et soit p une quantité positive quelconque : Les séries

^ M„+iMP ^M^+iLogM,^, LogPM„

^ i\l„^, A,„ M„+, Logf„ M„ ' seront toutes convergentes, et les séries

^ M,, ' -^d i\1„LogM„' '"' Zà M,J. seront toutes divergentes.

En effet, les quantités Mf , . . . , MP, . . . satisfaisant évidemment aux conditions

MP^,>iMP et limMP = oo,