M„^.MP • MP+.MP

des termes généraux de ces deux séries reste inférieur à une limite fixe. 11 est aisé de voir qu'il en est ainsi; car, si nous posons, pour abréger,

on aura

et q sera positif et << i . Soit u. un entier quelconque, tel que l'on ait — << 0. On aura

I — ^i^ Donc la série

est convergente, et l'on sait d'ailleurs que la série

est divergente.

En second lieu, les quantités

Log,„iMi, .... Log,„M„ ...

satisfont évidemment aux relations

Log,„M„+i> Log,„M,,, lim Log,„M„=: 00.

«rr 00

Donc la série

^ Log,,M„^iLogP,M,

est convergente. Or, en appliquant l'inégalité (9), on voit que ses termes sont plus grands que ceux de la série

Celle-ci est donc convergente.

De même, la série

2 ( Log,„ M„^, — Log,„ M„ )

est divergente, et ses termes sont plus petits que ceux de la série

Celle-ci est donc divergente.