Gomme application particulière, posons
Nous obtiendrons la suite de séries divergentes I v^ I
('^^ 2^^' 2;rL^' •••' 2
nK,„n
Posant, d'autre part, M^^^^/i — i, nous aurons de même la suite de séries convergentes
-^/i(/i— i)p' ' ^ /i Log/iLogP(/i — i)
A cette dernière suite, on peut substituer celle-ci, dont les termes sont respectivement plus petits et dont la forme est un peu plus simple :
On remarquera que, x étant un nombre donné quelconque, ses logarithmes successifs Log^, Log2^5 ••• décroîtront sans cesse et finiront par devenir négatifs.
Si Logu.:r est négatif, il n'aura plus de logarithme arithmétique, et les symboles suivants Log{i,-j.i x, . . . n'auront plus de sens. 11 pourra donc se présenter au début de chacune des séries types (10) et (i 1) un nombre limité de termes illusoires, suivis d'un terme négatif. Mais on pourra leur sub-
stituer des nombres positifs arbitraires sans altérer la convergence ou la divergence.
307. Les considérations suivantes montrent directement la divergence des séries (10) et la convergence des séries (11). Elles permettent, en outre, d'assigner deux limites entre lesquelles se trouve comprise la somme d'un nombre quelconque de termes consécutifs de chacune d'elles.
Soit F(n) une fonction de /z, dont la dérivée /(n) soit positive, continue et décroissante, et tende vers zéro pour n = 00. On a, pour les valeurs de x comprises entre n et /? -f- I,
et, en intégrant âe n k n
,n-Hl
Posons successivement ai = v, v -f- i, . . . , v -|- /^ — i et ajoutons les inégalités obtenues; il viendra
La somme y(v -f- i) + . . .-(-/(v -\- p) sera donc comprise entre les deux nombres fixes
et
Soit en particulier
F(/0 = Log«, d'où f{n) — -
posons en outre v = i , nous voyons que la somme
2 3 * * /? -H I est comprise entre Log(/? + i) et Log(/? -f- 1) H — i .
Si V tend vers oo,/(v) et/(v ■+- p) tendant vers zéro, on aura
^ f{œ)dx.
Pour que la série llf{n) soit convergente, il faut et il suffît que le premier membre de cette égalité soit nul quel que soit/>. La condition nécessaire et suffisante pour la convergence est donc que l'intégrale
f f{a:)da: = ¥{v^p)-F{v)
tende vers zéro ou, ce qui revient au même, que F(n) tende vers une limite finie pour n = ce.
