Gela posé, les fonctions

Log/i, Logj/z, ..., Log,„+,/i, ...,

qui ont respectivement pour dérivées

n n Log/^ nA,nH

deviennent infinies pour n=^ao. Donc les séries (lo) sont divergentes.

Au contraire, les fonctions

n~9 Log~PAi Log~P/i

qui ont pour dérivées

/i^+P n Log^+P/i Ai A,„ n LogP, n

3oO PREMIÈRE PARTIE. CHAPITRE III.

s'annulent pour n=zoo. Donc les séries (ii) sont conver-

309. La remarque suivante fournit un second procédé pour juger de la convergence d'une série à termes positifs par comparaison avec une autre série de même nature :

La série Ivn est convergente si, pour toutes les valeurs de n non inférieures à un nombre fixe v, on a

la série 11 Un étant convergente.

Elle est divergente si, pour /i>v, on a

Vn^^ < Un+x

la série ^u,i étant divergente.

On a, en effet, dans le premier cas.

Donc, à partir du rang v, la série Y^Vn aura ses termes au plus é£aux à ceux de la série convergente — S f/„; elle est donc

elle-même convergente.

La seconde partie du théorème s'établit de même, le sens

des inégalités étant changé.

310. Si l'on suppose que ^Un soit une progression géométrique de raison /•, on aura la proposition suivante :

La série ^v^ sera convergente si, pour /i>v, on a con~ stainment

> -> /• étant << i

SÉRIES. Soi

et en particulier si — — tend vers une limite l plus grande

que 1

Elle sera, divergente si, pour n^y, on a constamment

311. La considération des séries (lo) et (i i) conduit à des règles plus précises. Pour les formuler, calculons pour chacune de ces séries la valeur approchée du rapport — — , en

y négligeant les termes d'ordre plus élevé que — • On a, avec cette approximation,

(/i -h i)P __ AzP-h p/iE^~^4-. . . p p{p — l) T

nv m^ n 2 n-

Log ( /i -{- 1 ) = Log 71 -\- Log ( I H I

= Log /i( iH j^ ),

Log2(/i-M)=zLog2/« + LogM + -jpf^^

rr=Log,/H j

n Log Ai

= Log2« ( iH { — )?

\ n Ao n /

et généralement

Log^(/î 4-1) = Log„,Ai( 14- ' )>

3o2 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III.

Enfin

{n^i)\m{n-\-\) nA„,n

n J \ nLo^n / \ n A,„ n /

n n Logn ' ' nA^^n

{n-^iy-^P i + p (i + p)p

(/i-hi)A^(/iH-i)LogP,(/^-f-[)

n n Log/i " ' ' nAffiti

Telles sont les valeurs du rapport — — pour les séries (lo) -et (i ï). La première de ces valeurs seule est exacte. Les autres doivent être complétées par un reste de la forme -^> ^n étant infiniment petit pour n = oc.

312. Cela posé, une série llvn sera divergente si, à partir de /î = V, on a constamment

OU, plus généralement,

tV -/ 1 i \ 1

"k étant une quantité positive fixe.

SÉRIES. 3o3

En effet, en la comparant à la série (lo) correspondante, la différence

J^^ ihi = ^ + Qn

a II < /ï2

^n-hl "n-f-1 '*

finira par devenir négative, 8„ étant infiniment petit.

Au contraire, St^„ sera convergente, si l'on peut trouver une quantité positive \ telle que l'on ait, à partir de n =v,

ou, plus généralement,

En effet, comparons la série S r,^ à la série correspondante ^Un, formée avec une valeur de p moindre que X. La différence

lt„., > nXnrH

prendra, pour de grandes valeurs de /i, le signe de son premier terme, qui est positif.