Lorsque le rapport -^-^ est développable suivant les

puissances entières de — (ce cas est à peu près le seul qui

se présente dans la pratique), les règles précédentes permettent de décider, dans tous les cas, s'il y a ou non convergence.

Soit, en effet, en s'arrêtant aux termes du second ordre,

'8^, restant fini pour n = oc.

Si a < I , ou a = I , ^ ^ 1 , il y aura divergence -, car, en

3o4 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III.

comparant la série ^ç,i à la suivante, qui est divergente, on aura

Un-i-i n II Log/i

et le terme principal, qui, pour de grandes valeurs de /i, donne son signe à cette expression, sera négatif.

Au contraire, si a >> i , ou a = i , ^ ;> i , il y aura convergence; car, en comparant la série ^i^n à la série convergente

Log^-^P on aura

rt+i "-n-hi

/iLog/i n^

expression qui, pour n suffisamment grand, sera positive, car son terme principal est positif.

314. Voici une dernière règle de convergence, due à M. Kummer :

Siy pour 11^^^ on peut mettre le rapport — — sous la forme

a, <?v, ...,<?„, ... désignant des quantités positives quelconques, la série S('„ sera convergente.

On a, en effet,

Ajoutons les équations obtenues en donnant successivement

SÉRIES. 3o5

à n les valeurs v, v H- i , v +/> — i ; il viendra

Donc la somme du premier membre tend, pour yo = oo, vers

une limite au plus ég-ale à -^^.

315. Séries k double sens. — On considère parfois des séries telles que

(12) . . . + M,„ + . . . 4- W__i H- Mo -i- «1 + • • • + "« -h . • • 1

formées d'une infinité de termes s'étendant dans les deux sens à partir d'un terme central Uq. La somme s d'une semblable série sera, par définition, la limite de la somme

5,„„ = ( u^ 4- ... -4- Mo H- ... -f- //„),

lorsque /?? et /i tendent tous deux vers 00, sans être liés par aucune relation. S'il existe une semblable limite, la série sera convergente. Pour cela, il est évidemment nécessaire et suffisant que les deux séries partielles

«0-1-- • .H- "« + • • • et ^^l4-. . .-f- M,„-h. . .

soient convergentes séparément.

La série (12) sera absolument convergente si ces deux séries le sont. On pourra, dans ce cas, altérer à volonté l'ordre des termes sans changer la somme de la série; les écrire, par exemple, dans l'ordre suivant,

de manière à n'avoir plus qu'une série ordinaire.

Pour former le produit de deux séries de l'espèce (12), lorsqu'elles sont absolument convergentes, on n'aura évidemment qu'à former les produits de leurs termes deux à deux; les termes ainsi obtenus, écrits dans un ordre quelconque à la suite les uns des autres, formeront une nouvelle série, égale au produit cherché.

316. Séries multiples. — Soit u,n^m^... un système de quantités, distinguées les unes des autres au moyen de plusieurs indices m,, m^^ . . ., dont chacun peut prendre une infinité de valeurs entières (par exemple, toutes les valeurs entières et positives).

On peut, d'une infinité de manières, écrire ces termes à la suite les uns des autres et former ainsi une série où chaque terme figure à un rang déterminé, sans qu'aucun d'eux soit omis. (On peut, par exemple, en désignant par e,, ^2, ... une suite quelconque d'entiers croissants, écrire d'abord, dans l'ordre qu'on voudra, ceux des termes w,„, ,„.... en nombre limité pour lesquels | /?i, | + | m2 | + . . .^^i, puis ceux, en nombre limité, où cette somme est ^^i, mais^e^, et ainsi de suite).

Une série ainsi formée

dont les termes successifs ne sont autres que les nombres it-m m écrits dans un certain ordre, représentera pour nous, si elle est convergente, une valeur de la série multiple

Toutes les séries V se déduisant de l'une d'elles V parle changement de l'ordre de ses termes, on voit (291-292) que, si V est semi-convergente, la série multiple admet une infinité de valeurs diflerentes. Le symbole Sz^„,^,„^ n'acquerra donc un sens précis que lorsqu'on aura fixé l'ordre dans lequel les termes devront être successivement ajoutés.

A.U contraire, si V est absolument convergente, la série multiple n'aura qu'une valeur unique (289). Nous dirons, dans ce cas, qu'elle est absolument convergente. La série plus générale 2a,„^,„^ w,„^y,^ le sera également, si les modules des multiplicateurs a,„,„^ ne surpassent pas un nombre fixe (297). Enfin, on obtiendra le produit de deux semblable s

SÉRIES. 3o7

séries en multipliant leurs termes deux à deux et ajoutant dans un ordre quelconque les produits ainsi obtenus.

317. Considérons en particulier la série à termes réels et positifs

(où l'on exclut le terme correspondante m, =m.2..'=mn=Oj qui serait infini), et cherchons dans quel cas elle sera convergente.

Soit X un entier positif quelconque. Le nombre des systèmes de valeurs de /??<, ..., m^ dont la valeur absolue ne surpasse pas x est évidemment égal à (2;r -|- i)" — t . Si nous excluons ceux de ces systèmes où /?i,, ..., nin sont tous <^x en valeur absolue, il en restera

Soit Sx l'ensemble des termes de S qui correspondent aux systèmes restants. Chacun de ces termes est évidemment com-

Fis entre les deux limites suivantes — — ■ et ; -— ; on aura

donc

On a d'ailleurs, évidemment,

S = Si-f-. . .-f- s^^ . . ,

et, par suite,

en posant, pour abréger.

■la

S sera donc convergente ou divergente en même temps que ï.

3o8 PREMIÈRE PARTIE. CHAPITRE III.

Mais on peut évidemment écrire

A;i tendant pour ^ =: QO vers la limite constante /?2". Pour que T soit convergent, il sera nécessaire et suffisant que la série

le soit, ce qui donne (306) la condition

318. Ce résultat peut être i;énérallsé comme il suit : Soient C5 une fonction continue homogène de degré 2 a des

indices /??, , . . ., /??„; 'h une fonction des mêmes indices, de

degré inférieur à 2 a.

Si la fonction o est de telle nature qu'elle ne s'annule pour

aucun système de valeurs réelles des variables m,, m^-, . . .

(le système o, o, ... excepté), la série

(où Ton exclut de la sommation les termes pour lesquels on

aiirnit es -I- y = o) sera convergente si a>> — ? divergente

En elTet, donnons successivement aux variables m,, ma, ... tous les systèmes de valeurs réelles qui satisfont à la condition

r^es valeurs correspondantes de cp seront évidemment finies et de même signe, car 'f ne pourrait changer de signe qu'en s'annulant.

Soient K la plus grande de ces valeurs, A^ la plus petite. Le rapport des fonctions (p et (mj -}-... H- ml)^ restera coin-

SÉRIES. 3o9

pris entre K et k pour tous les systèmes de valeurs qu'on considère. D'ailleurs ce rapport, étant une fonction homogène et de degré zéro de w,, ..., m,i, ne dépend que des rapports mutuels de ces quantités; il sera donc toujours compris entre K et k.

D'autre part, 'l étant de degré << 2a par rapport à m,, ..., m«, son rapport à [m'-^ -{-...-]- m'f^)°^ tendra vers zéro si les variables m,, ..., m^, ou seidement quelques-unes d'entre elles, croissent indéfiniment; car ce rapport est moindre que

— ^) nip désignant la plus grande en valeur absolue des quanftip

tités m^, ..., nini et ce dernier rapport tend évidemment

vers zéro.

On aura donc

Q + (]; = A,„,...,„„(m j -f- . . . -^ mfj^,

^m^...m^ étant une quantité iinie, comprise pour des valeurs suffisamment grandes des variables entre deux limites fixes,

voisines de K et de k. La série 7 r sera donc conver-

gente ou divergente en même temps que la série S considérée tout à l'heure.