Comme application, considérons la série
^ (2GL)i/7ii
OÙ 2iùi=z a' -{- a"i, 2t02= b' -\- b" i^ z ■= z' -\~ z" i sont des quantités complexes et a une quantité positive. La série des modules a pour terme général
[(a'mi+ b' m^-hz'Y^{a'''m,~\- b" m.^-v- z"YY ^
en posant
9 = [{a' m, 4- b'iiuy-^ {a"jH, -h b" in.yY •
3lO PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III.
La fonction cp est continue et homogène de degré a. Enfin, elle ne s'annulera que si rUt = m.2= o, pourvu que le déterminant a' b" — b'a" soit différent de zéro.
On voit donc, en appliquant le théorème précédent, que la série sera absolument convergente si a>>2. Elle sera divergente, ou semi-convergente, si a^2.
320. PRODUITS i-\Fiiv'is. — Soient, comme ])récédemment, ih, u.i, ..., ii„, ...
une suite indéfinie de quantités. Formons les produits successifs
-=r Ui II.,. . .Ll,
Si n augmente indéfiniment, il peut se faire : i^ Que ces produits successifs ne tendent vers aucune limite déterminée;
2" Qu'ils tendent vers oo;
3^ Qu'ils tendent vers une limite finie II.
On dira, dans ce dernier cas, que le produit infini
est convergent et a pour valeur 0.
321. Nous admettrons, pour plus de généralité, que w,, ..., w„, . . . puissent être complexes. Soit, en général,
u„ = a,, 4- b,i i = 0,1 ( ces a^ h- / si n oc„ ) •
Le produit 11/^ aura pour module p,...G„ et pour argument a, -f-... + a;,.
Deux cas de convergence seront à distinguer suivant que, pour /z = 00, Uji tend vers zéro ou vers une limite différente de zéro.
SÉRIES. 3ll
Le premier cas se présentera, quels que soient les arguments, si l'on a
limpi . . .pn= o,
ou, ce qui revient au même,
limLogpi. . .p,,= lim(Logpi + . . . + Logp„) =— oo.
Ce cas se reconnaîtra donc à ce caractère que la série
Logp,-^.. .-HLogp„-{-.. .
€St divergente et a pour limite — ce.
322. Supposons, au contraire, que 11/^ tende vers une quantité fixe différente de zéro, ayant P pour module et A pour l'un de ses arguments. 11 faudra évidemment pour cela qu'on ait
Logpi4-. . .4-Logp„r=:LogP-i-R„,
An étant un entier et R„, RJ^ des quantités qui tendent vers zéro pour n = oo. J3'ailleurs les arguments a, , . . ., a„, n'étant déterminés chacun qu'aux multiples près de 2-, pourront être choisis successivement de manière à faire évanouir les entiers A"„, de sorte que les deux séries
{i4) Logpi + . . .H- Logp„-i-. . .,
(i5) ai-h. . . + a„ + . . .
soient convergentes (leurs sommes étant LogP et A).
Au lieu de la série (14)7 il sera souvent plus commode de considérer la série
<i6) Logp5 + ...H-Logp2+.. .,
qui s'obtient en doublant tous ses termes.
Si les séries (i5) et (16) sont absolument convergentes, il en sera de même du produit II, dont la valeur sera évidemment indépendante de l'ordre des facteurs. 11 en dépendra, au contraire, et sera semi-convergent, si l'une ou l'autre des deux séries est semi-convergente.
Sll PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III.
Une condition nécessaire, sinon suffisante, pour la convergence des séries ci-dessus est que leurs termes tendent vers zéro pour n = cc. Il faut pour cela que p;* tende vers l'unité et a,, vers zéro. Mais on a
. K sin —
P„ P'n — al-^ dl, a„=:arc ,
cos
Pn
Il faudra donc que an tende vers l'unité et bn vers zéro.
323. Théorème. — Pour que le produit Il =1 Wj . . . u,^ . . .
soit absolument convergent vers une limite différente de zéro, il faut et il suffit que la série
.Ç = ( Ml — I ) -h . . . -f- ( M„ — f ) -h . . .
soit absolument convergente.
En effet, la convergence de cette série, comme celle du produit, exige évidemment qu'on ait
lim«„=:i, limô,, = 0, Hmp„=i. Cela posé, les expressions
Logp^^ Log(i + p,',— i)
et
. h„ arc sin —
bn bn
tendront évidemment vers l'unité pour n = zc. Ces facteurs seront donc, à partir d'un certain rang, inférieurs à une limite fixe, et il en sera de même» de leurs inverses. Donc le:^ séries (i5) et (i6) seront absolument convergentes en même temps que -les séries plus simples
& ri
SÉRIES. 3l3
et *
Mais, si la série \ bn est absolument convergente, il en sera
de même de la série ^ èf^, dont les termes ont des modules moindres, au moins à partir d'un certain rang. D'autre part, la série 7 (a;] — i) peut s'écrire
et sera absolument convergente en même temps que la série
N («// — i), puisque le facteur a,i + 1 tend, pour/? = (X)^ vers
une limite fixe égale à 2. Donc, pour que II soit absolument convergent, il faut et il suffit que les deux séries
^(a„— i) et ^bn
soient absolument convergentes, ou, ce qui revient au même, que la série
le soit.
