Considérons, comme exemple, le produit

Il sera absolument convergent si, a étant >> i, les coefficients A,, ..., Ara, ... ont leurs modules inférieurs à une limite fixe M. On aura, en effet,

et ^— ^ est convergente, comme nous l'avons vu,

3l4 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III.

Le contraire aura lieu si a^i et si A,, ..., A„, ... ont leurs modules supérieurs à une limite fixe.

32o. Gomme application, considérons l'expression

Soit r(^) la limite vers laquelle elle tend pour n =^ ce. On aura évidemment r(5) = oo si ^ est un entier négatif, car, à partir de la valeur « = — ^ 4- t , toutes les fonctions U{n., z) auront un facteur nul au dénominateur.

Pour toute autre valeur de ^, 1 (:^) aura, au contraire, une valeur finie et déterminée. En effet, on peut évidemment écrire

n(3,^) Tl{n-h-i,z)

et il ne reste qu'à prouver la convergence de ce produit infini. Or on a

ïi{n -hi, z) n {n -\-\Y VL{n, z) /i H- ^ n'-

iir n-

Afi tendant, pour n = oc, vers la limite fixe ^—^ Le produit est donc absolument convergent.

326. On a parfois à considérer des produits infinis dans les deux sens ou des produits multiples. Leur introduction ne peut plus offrir aucune difficulté.