Si une série

5 r= /^, + //2 H- • • • + «« -H • • • dont les termes sont des fonctions d'une ou plusieurs va-

SÉRIES. 3l5

riables x\ y^ ... est convergente pour tous les systèmes de valeurs île ces variables constituant un certain domaine, elle représentera dans ce domaine une fonction de jp, y, ....

La convergence de la série sera uniforme, si l'on peut, quelle que soit la quantité positive s, déterminer un entier v, indépendant de ^, y, ... et tel que, pour n > v, on ait toujours

Les séries uniformément convergentes peuvent, à beaucoup d'égards, être assimilées aux sommes formées d'un nombre limité de termes, ainsi que le montrent les théorèmes suivants :

328. Théorème l. — Une série uniformément com^ergehte, dont les termes sont des fonctions continues de x^ y, . . ., est elle-même une fonction continue.

Posons, en elFet,

Changeons ^, y, ... en ^ + A^, y -\- ày, ...; soient A5, A^/i, AR les accroissements correspondants de s, s^ R; on aura

^s = A.s„ -H AR = As-,, 4- R -h AR — R, d'où

|A.| = |A.9j-MR^AH|-f-|R|.

La continuité étant supposée uniforme, on pourra prendre n assez grand pour que | R -+- AR | et |R | soient moindres

qu'une quantité positive quelconque -r*

Le nombre n ayant été ainsi choisi, 5,^, qui est la somme d'un nombre fini de fonctions continues, sera continue. On pourra donc assigner une quantité S telle que, si [Aj*!,

I Ay |, . . . sont <C ô, I Asn I soit -< -• On aura alors

ce qui démontre la continuité de s.

3l6 PKEMIÈRK PARTIE. — CHAPITRE III.