Théorème II. — Une série uniforme ment convergente
et dont les termes sont des fonctions intégrables dans un domaine borné E, est elle-même intégrable dans ce domaine; elle a pour intégrale la série
de
laquelle sera uniformément convergente.
En efTet, décomposons E en éléments infiniment petits de^. ..., dch^ .... Soit Oa l'oscillation de s dans l'élément dck' Il laut prouver que HO^de/ç tend vers zéro en même temps que l'étendue des éléments.
Posons encore
et soient OJ^, w^ les oscillations de Sn et de R dans l'élément de/(' On aura évidemment
10,de,= 10',de,^lr.^,de,.
On peut, par hypothèse, prendre n assez ^rand pour que R soit constamment moindre en valeur absohie qu'une quantité positive quelconque £. Son oscillation ojy^ sera dès lors moindre que 2£, et l'on aura
2 M;,, de^ < 2 £ ^ dejç < 2 £ E.
Le nombre n étant ainsi choisi, Sn étant la somme d'un nombre fini de fonctions intégrables sera intégrable; on pourra donc assigner une quantité ù telle que, si de^^ ..., dck sont tous << 8, ^O'f^dek soit <^ £. On aura alors
10kde,,<c{i\i-i- i), quantité qui tend vers zéro avec £; donc s est intégrable.
Son intégrale sera donnée par la formule
=r V Wj c/e 4-. . .+ V Un de -h ^ Rde.
Il ne reste plus qu'à montrer que, si n tend vers 00,
SJ\.de tend vers zéro, et cela uniformément. E
Or, on peut, par hypothèse, déterminer un entier v tel que, si /i >> V, I R I soit constamment moindre qu'un nombre positif quelconque £. Mais alors
^ nde
quantité qui tend vers zéro avec s. '
