Théorème 111. — Si la série

s{x) =^ f,{.x) -^ . . . -\- f„{œ) -^ . . . est convergente, et la série

uniformément convergente dans V intérieur d'un domaine E; si, de plus, les fonctions f\ (^), . . ., f\i{x\ . . . sont continues dans V intérieur de E, s(^x) admettra dans i' intérieur de E une dérivée, égale à <7(x).

Soient, en effet, x un point quelconque intérieur à E; a un autre point, assez voisin de x pour que tous les points de l'intervalle ax soient encore intérieurs à E; ^(x) sera intégrable de a k x', et l'on aura

f G{t)dt=: f f[(t)dt^...-^ f /,[(t)dt-^...

3l8 PREMIÈRE l'AUTIE. — CHAPITRE III.

Le premier membre admet une dérivée, égale à ^rix); donc il en est de même du second; s [a) étant une constante, s(x) aura une dérivée, égale à a-(^).