Théorîlme IV. — Soit

une série co/ive/'gente dont les ternies soient, dans un certain domaine, des fonctions synectiques de z. Si la série

est uniformément convergente, s(z)se/-a dans ce domaine une fonction synectique de z, ayant pour dérivée <^{z).

La démonstration est la même que pour le théorème précédent.

332. L'uniformité de la convergence, admise dans les raisonnements précédents, est une condition essentielle pour la validité des démonstrations.

Voici, en effet, quelques exemples où, cette condition n'étant pas remplie, nos théorèmes se trouvent en défaut : 1° Considérons la série s qui a pour terme général

Pour ^ = o, elle se réduit à zéro. Pour les autres valeurs de x comprises entre — i et -f- 1 , 5 est une progression géométrique convergente, et a pour valeur

quantité qui tend vers oo si ^ tend vers o. La série s est donc discontinue pour jc = o, bien qu'elle soit convergente et que ses termes soient des fonctions continues.

Ce résultat s'explique en remarquant que la convergence m'est pas uniforme. Soit, en effet, Sn la somme des n pre-

miers termes de la série. On aura

et, quel que soit /z, on pourra toujours trouver une valeur de x assez petite pour que Un soit plus grand que toute quantité donnée s.

2° Considérons la série

.s- =: f/i + ...-+- M„ + . . ., OÙ

La somme Sn des n premiers termes est égale à Jixe~'^^^ et tend vers zéro, quel que soit x^ pour n ^= ce. La série a donc pour valeur zéro, quel que soit x.

On a, par suite.

.ç dx =: o ; '0 mais, d'autre part,

Sndx = I nxe-"^' dx = -- - I r/^-»^' — — - (e""^ ^0 ^-'o ^

et, pour n ^= ao^

dx

lim / s„

Le théorème II est donc en défaut pour cette série.

Cela tient encore à ce que la convergence n'est pas uniforme. En effet, on a

et, si l'on pose x = -— :, il viendra

11 est donc impossible de choisir n de telle sorte que, pour toute valeur de .r, | R„ | soit <; s, dès que e sera << -•