Considérons encore, avec M. Weierstrass, la série

F(^)=: > è"cosa"7r^,

où h est une constante positive < i, et a un entier impair

Cette série est uniformément convergente; car, si l'on désigne par F,„(^) la somme des m premiers termes, par R^ le

quantité indépendante de x et qui tend vers zéro pour m =z 00.

Si a6 <C I , F(^) aura pour dérivée la série

F'(^) =~y^a'^6"|7:sin«"7:^,

car celte dernière série sera aussi uniformément convergente.

Nous allons montrer, au contraire, que, si ab surpasse un certain nombre fixe, F(^) n'aura pas de dérivée.

On peut évidemment écrire

0L„i étant un entier et ^^ une fraction comprise entre — i et 4- .;. Posons

e.a élant égal à dz i . La quantité

sera un entier. D'autre part, h aura le signe de e,n^ et son

module sera au plus é2;al à ; donc h tendra vers zéro si ni

croît indéfiniment.

Considérons l'expression

F(^ -f- h) — F(^) '^ 6'*[cos<2"(cr -h h)7: — cosa'*:rTr]

Soient Sm la somme de ses m premiers termes, R„j le reste. On aura

'^ 6" [ ces a" (^ -h A) 71 — ces a" :c 11]

et, par suite,

> 7ra"^'^T-^ — -<-r^ a"" b'

^^ ab — I ab — i

Passons à la considération de R,„. Pour riym^ on aura (a et Cm étant impairs)

cosa"(x'H-A)7r--cosa'*-'»(a„,-f-e„,)7r=: {—i)^m-^\

cosa" œn = ces a"-'« ( a^,, H- 1,„ ) t: =: ( — i ) «^m cos a"-'" ç„, iz

et, par suite,

^m^- ^ 2rfZ>-(l4-C0Sa"— ^,,71).

La quantité sous le signe \^ a tous ses termes positifs. D'ailleurs, le premier de ces termes, 6'"(i + cos?„i7:), est

^Z>'"; car, ^^«t: étant compris entre et -? son cosinus ne

peut être négatif.

On aura donc

et R,„ aura, d'ailleurs, le signe de ( — i)^m+' e„i. Si donc on a

2 7T 1, . - ^ Stt

-r, > —, î d'où ab^\~\ j

6 au — 1 2

on aura

quantité qui croît indéfiniment avec m.

,^, ... ¥{x^h)-¥{œ) . . PI- .

Jj ailleurs, j a, ainsi que n,,/, le signe de

( — i)°''n+' <?„i, et, comme on peut, pour chaque valeur de nij se donner arbitrairement le signe de e,„, on voit qu'on pourra

à volonté faire tendre vers l'infini positif

ou négatif, ou lui faire parcourir une suite de valeurs de signes différents et indéfiniment croissantes, h tendant toujours vers zéro.

On voit, par l'exemple qui précède, qu';7 existe des fonctions continues n^ ayant de dérivée pou?' aucune valeur de la variable.

334. La fonction précédente F(:r) n'a une variation bornée Jans aucun intervalle.

Soit, en effet, cd un intervalle quelconque. Soient -^>

) • • •) * celles des fractions de dénominateur — - qui

sont contenues dans cet intervalle; si nous donnons à ^ la série de ces valeurs intermédiaires entre c et <:/, la variation

SÉRIKS

totale T correspondante sera

Y(ttl±l\^(^±S'

et sera au moins égale à yr,, y; désignant la plus petite des quantités

Or on a, par hypothèse.

d'où

D'autre part, nous avons vu, dans le numéro précédent, qu'en posant

on avait

3 ab — I

Faisant, en particulier, ^,,1= o, e„^=-}- i, y.,n= ,3 + /, d'où

[3-hi

X = = — -— > A = -— , il viendra

P-+-^'+'\ ir/P-^^'

3 ab — I

On aura donc

T > (,3 - ^î^rrj *"'[<'"' ('^ - o - 2].

Si nous faisons croître m indéfiniment, b étant << i et «è >> i , cette expression croîtra indéfiniment, ce qui établit notre proposition.