Soit

une série procédant suivant les puissances entières et positives de ^ — a.

Si, pour une valeur particulière ^ de z autre que rt, la série est convergente, son terme général tendra nécessairement vers zéro quand n augmente indéfiniment. On aura donc, en posant pour abréger | Ç — a | = /',

(1) lim|A„/"M = o.

Cette condition n'est pas suffisante; mais si elle est

remplie, et si l'on désigne par p une quantité positive quelconque moindre que ;•, la série S sera absolument et uniformément convergente pour les valeurs de z qui satisfont

à l'inégalité

\z — a\lp.

Les séries dérivées

S'=^/iA„(:;-«)«-\

S" = ^n{n - i)K{z - ar-\

jouissent de la même propriété.

En effet, soit s une quantité positive quelconque. On peut, par hypothèse, déterminer un nombre v tel que toutes celles des quantités | A/^/'" | où /i > v soient < s. Les autres sont en nombre limité; soient Tj la plus grande d'entre elles, M la plus grande des deux quantités s, t^ : on aura, quel que soit /?,

Cela posé, considérons, par exemple, la série S'. Les modules de ses termes sont au plus égaux aux termes de la série

laquelle est convergente, carie rapport d'un terme au suivant

a pour limite -? quantité > i .

P ^ L'uniformité de la convergence résulte d'ailleurs de ce que

la nou^ elle série a ses termes indépendants de z.

La série S représentera donc une fonction sjnectique dans

un cercle de rayon p décrit du point a comme centre, et sur

ce cercle lui-même.