Gela posé, soit /- une quantité positive variable de o

326 PHEMiftRK PARTIR. CHAPITHE III.

à co. L'expression

sera croissante avec /•, et trois cas seront à distinguer :

i" La condition (i) n'est satisfaite pour aucune valeur de /*. Ce cas se présentera, par exemple, si A/i= i . 2 . . . ai. S'il en est ainsi, S ne convergera pour aucune valeur de z, autre que a.

2^ La condition (i) est au contraire satisfaite pour toute valeur de /'. Dans ce cas, /• et par suite p pouvant être choisis aussi grands qu'on voudra, S sera convergente et définira une fonction synectique dans tout le plan.

Une semblable fonction se nomme une fonction entière. Telles sont, par exemple, les fonctions e^, sin:?, cosz.

3" La condition (i) est satisfaite pour des valeurs suffisamment petites de /•, mais ne l'est plus pour les valeurs suffisamment grandes. Ces deux classes de valeurs sont séparées par une valeur frontière R.

Traçons, autour du pointa comme centre, un cercle K de rajon R, auquel nous donnerons le nom de cercle de convergence.

Si z est extérieur à K, on aura \z — « | >> R, et la série sera divergente.

Si z est intérieur à K, on aura \z — a | << R, et, en choisissant deux quantités p et /• telles que l'on ait

on voit que la série sera convergente. La fonction qu'elle représente sera d'ailleurs sjnectique dans tout cercle décrit du point a comme centre avec un rayon p moindre que R.

Enfin, si :; est sur la circonférence de K, S pourra, suivant les cas, être convergente ou non.

La fonction synectique /(2) représentée par une série S de puissances entières z — a dans l'intérieur de son cercle de convergence se nomme nn élément de fonction analytique. Nous dirons, pour abréger, que le point a, est le centre de cet élément et que R est son rayon.

338. Si Ao est nul, /(s) s'annulera pour z=^a^ et l'on dira que ce point est un zéro de f{z). Ce zéro sera d'un degré de multiplicité m, si A^^ est le premier des coefficients de la suite Aq, A<, ... qui ne soit pas nul.

On aura dans ce cas

f{z) ^{z- ay-[K„-^ k„^,{z -«)-+-.. .]

et l'on pourra déterminer une quantité 0 telle que, si o < I >s — a I <C S, on ait toujours f{z) ^ o.

Nous avons vu en effet qu'il existe deux quantités M et r telles que Ton ait

€t, par suite, si | 5 — a | << /',

I A,„+i(:; — a)-\- k,„^,{z — ay--^...\ ^ M / \z — a\ U — ^

<r''-\r-lz-a\)

Cette quantité décroît avec \z — a\] si donc on détermine 5 par la condition

on aura pour les valeurs de | s — a\ inférieures à 8

339. Théorîîme. — Soil f{z) une fonction synectlque de z définie dans V intérieur d' un contour fermé et continu C. Les points de V intérieur de ce contour pour lesquels f{z) prend une valeur déterminée A sont nécessairement isolés, si la fonction f{z) ne se réduit pas à la constante X.

On peut supposer pour plus de simplicité X=:o; car, s'il était différent de zéro, on n'aurait qu'à raisonner sur la

fonction /(z) — )., qui est définie dans le même domaine que /(::).

Supposons donc qu'il existe dans l'intérieur de C un point r/, qui soit la limite d'une suite de points a<, ao, ... pour chacun desquels f{z) s'annule. Soit b un autre point quelconque intérieur à C. On peut joindre les points a et b par une ligne polygonale L située dans l'intérieur de C. Soit £ une quantité moindre que la plus courte distance de L et de C. Partageons la ligne L en arcs partiels aa^^ ..., af<a/(^i^ . . . dont chacun ait une longueur << e.

Si de l'un des points a, a^, . . ., par exemple du point «a, comme centre, on décrit un cercle de rayon £, la fonction y'(^) sera représentée dans l'intérieur de ce cercle ])ar la série de Taylor

et ce développement sera valahle sur les arcs ftff-iCi/f et «A^/f+i5 q^ii sont contenus en entier dans ce cercle.

Considérons le premier développement, relatif au point a^

Si l'un des coefficients /(<7), f'{ci), ... n'était pas nul, on pourrait, comme on l'a vu au numéro précédent, assigner une quantité o telle que f{z) ne s'annulât pour aucune valeur de z pour laquelle on aurait o <C\z — « | << S, ce qui est contraire à la supposition que (( est la limite d'une suite de points pour lesquels /(.g) s'annule. Donc f {ci) ^ f {(^) i ••• seront tous nuls, et l'on aura f{z) = o tout le long de l'arc acii.

Mais ai sera la limite d'une suite de points de cet arc; on verra donc, par le même raisonnement, que tous les coefficients du second développement

s'annulent, et que f(z) est nul tout le long de l'arc «j a.,.

Continuant ainsi, on voit que /(z) doit s'annuler tout le long de L et en particulier à son extrémité b, laquelle est,,

par hypothèse, un point quelconque de l'intérieur de C. Donc f{z) est nul dans tout ce domaine.

340. Corollaire, — Soient /(^), f\{^) deux fonctions synectiques respectivement définies dans l'intérieur de deux contours fermés C, G, qui se coupent mutuellement en deux points. Si dans la région D, intérieure à la fois à G et à C,, les deux fonctions f{z) et f\{z) sont égales autrement qu'en des points isolés, les relations

F(^)=r/(^) dans l'intérieur de C, z=zf^[z) dans Tintérieur de C,

définiront une fonction synectique F(^) dans tout l'intérieur de la région du plan entourée par ces deux contours.

On doit remarquer que F (s) est définie de deux manières différentes dans la région D; mais ces deux définitions coïncident; car la différence /, (^) — f{z)^ étant synectique dans cette région, et ne s'y annulant pas seulement en des points isolés, y est identiquement nulle.

Ce point établi, la proposition devient évidente.