Nous dirons que deux éléments de fonction analytique

S=2A„(^-ays

ayant respectivement pour centres les points a et r/|, sont conllgus, si : i*^ leurs cercles de convergence empiètent l'un sur l'autre ; 2" dans la région commune à ces deux cercles, on a S = S< .

D'après ce qui précède, il suffit, pour que cette dernière circonstance se réalise, que l'égalité S = S, soit satisfaite dans cette région commune autrement qu'en des points isolés.

Si deux éléments S, Si sont contigus à un troisième élément

33o PREMIÈRE PARTIE. CHAPITRE III.

■et si les trois cercles de convergence K, K,, Ko ont une ré- ;gion commune, S et S, seront contigus. Gar on a dans cette

8 = 82, Si = 82, d'où S = Si,

•et cette dernière égalité, ayant lieu ailleurs qu'en des points isolés, subsistera dans le reste de la région commune à K et K,.

Remarquons enfin que, sir/, est un point quelconque intérieur au cercle de convergence K de l'élément S, on aura, par la formule de Taylor, dans l'intérieur de tout cercle décrit du point a^ comme centre avec un rayon moindre que la distance de «, à la circonférence de K,

Le second membre de cette égalité sera donc un élément <le fonction analytique contigu à S.

342. Ces préliminaires posés, tout élément de fonction analytique tel que

■sert de point de départ, comme il suit, pour la définition d'une fonclLOii analytique f{z).

Soit L une ligne continue quelconque partant du point a pour aboutir à un autre point b.

Aduiettons qu'on puisse marquer sur cette ligne une suite de points «, a,, ..., «/, ..., ^ en nombre limité et jouissant ■des propriétés suivantes :

il existe une suite d'éléments de fonctions analytiques S, S,, ..., S/, ... dont chacun est contigu au suivant, et tels <jue les arcs aa^^ . . ., aiaij^s , • • • soient respectivement contenus à l'intérieur des cercles de convergence K, ..., K,-, ... -de ces éléments.

Nous définirons /(^) en chaque point de la ligne L comme âl suit :

SÉRIES. 33i

De a k ai nous poserons

/(^) = S, ...; de ai à «/+(,

On a ainsi, au point a/,

/(«,) = S,i et /(a,)r=rS/;

mais comme en ce point, intérieur à K/, et à K/, on a

ces deux définitions sont concordantes.

343. Si ^r=cp(^), y=>l(^t) sont les équations de la ligne L, la fonction f{z)^ ainsi définie sur cette ligne, est évidemment une fonction continue de i. Sa valeur en chaque point de L sera déterminée et ne dépendra pas de la manière dont on aura pu choisir les points «,, . . ., <2/, ... et les éléments S,, . . ., S/, ....

En efî'et, soit a\, al, ... et S,, S!,, ... un second système -de points intermédiaires et d'éléments correspondants. Désignons par a,, ao, ... les points des deux systèmes a,, -<22, ... et a'p a^, . . . écrits dans l'ordre où on les rencontre en cheminant de a à b.

Dans les deux modes de procéder, on a sur l'arc a a,

Admettons plus généralement qne, jusqu'au point a/, la valeur de f{z) reste la même; nous allons prouver qu'il en sera encore de même sur l'arc cLia^ij^^.

Avec le premier mode de division, f{z) sera déterminé par une relation de la forme

S<. étant un élément dont le cercle de convergence K^ contient à son intérieur l'arc a/a/^,, et, par suite,^une portion de

l'arc a/< a/ avoisinant a/. Sur cette dernière, on aura encore

En effet, cela a lieu par définition si a/ n'appartient pas à la suite a^, a.^^ .... Si au contraire il appartient à cette suite, il sera égal à ae et la définition donnera

Mais Se et Se i sont deux éléments contigus; donc, dans toute la région commune à leurs cercles de convergence, on aura

et, par suite,

Dans le second mode de division, on aura de même, sur l'arc a/a/^< et sur une portion de l'arc a/,a/, voisine de a/^

S^^ étant un nouvel élément, dont le cercle de convergence R^,^ contient à son intérieur l'arc a/a/^< .

Mais, dans les deux modes de procéder, /(2) a la même valeur sur l'arc a/i a/; donc les deux éléments S^ et SJ,^ ont la même valeur sur toute la portion de cet arc commune à Ke et à KJ^^. Ils sont donc contigus, et restent encore égaux sur l'arc a/a/^,.

La valeur finale de /(^) au point ^, extrémité de la ligne L, ne dépend donc que du tracé de cette ligne, lequel définit la loi de variation de z.

344. Nous avons admis, dans tout ce qui précède, qu'on pouvait passer du point a au point h (et a fortiori h^ un point quelconque de L) au moyen d'un nombre fini d'éléments S^

S,, Supposons qu'il en soit autrement. La ligne L étant

à ses débuts intérieure à R, il y aura sur cette ligne des points que l'on peut atteindre de la manière indiquée et d'autres plus éloignés aui ne jouissent plus de cette propriété. Ils

sont séparés les uns des autres par un point frontière c que nous appellerons un point critique. Notre procédé permettra de définir la valeur de i\z) pour tous les points de l'arc ac (le point c excepté), mais on ne pourra aller plus loin.

345. Nous avons vu que, si z se rend de a à 6 suivant une ligne L n'offrant pas de point critique, on peut déterminer sans ambiguïté la valeur de /(^) en chaque point de cette ligne, et notamment au point b et dans ses environs où elle sera donnée par un développement

procédant suivant les puissances de ^ — h.

Si z suivait une autre ligne L', on obtiendrait de même sur la partie de cette ligne avoisinant le point b un nouveau développement

Si ces deux développements sont identiques, nous dirons que les lignes L et L' donnent à leur extrémité des valeurs concordantes poury(^). Il n'en est pas nécessairement ainsi. Les fonctions algébriques et les transcendantes élémentaires nous en ont déjà fourni plusieurs exemples.

11 peut même arriver que le point b soit critique sur l'une des lignes L, L', sans l'être sur l'autre.

Il est donc, en général, nécessaire, pour pouvoir fixer la valeur de /(s) en un point donné b ou dans ses environs, de définir le chemin suivi pour y parvenir.

Il existe pourtant, comme nous allons le voir, certains cas où l'on peut s'affranchir, au moins dans une certaine mesure, de cette considération.

346. Théorème. — Supposons z assujetti à rester constamment dans V intérieur d'un contour fermé Ct] si, dans ces conditions, on ne rencontre jamais de point critique, quelle que soit la ligne décrite par z, la fonction f{z) dé-

finie par le moyen de ces lignes dans U intérieur de C n'a qu'une valeur unique pour chaque valeur de z^ et c'est une fonction synectique.

On peut tout d'abord se borner à la considération des lignes L qui sont polygonales. En eft'et, soit L une ligne quelconque allant de a à 6; soient a, a,, ..., a/, ..., 6 et S, S,, ..., S/, . . . les points de division et les éléments successifs qui servent à la détermination de f{z) le long de cette ligne; K^ K,, . . ., K/, ... les cercles de convergence de ces éléments.

Remplaçons chacun des arcs partiels a/«ç/^, par un polygone inscrit ayant mêmes extrémités et qui s'en rapproche assez pour être encore contenu en entier dans l'intérieur de C et de K/. Pour déterminer la valeur de f{z) en chaque point de ce polygone P, on fera usage des mêmes éléments que pour la ligne L; on arrivera donc aux extrémités de ces deux lignes à des valeurs concordantes de J\z).

34". Considérons donc un polygone P et un autre polygone P' aboutissant également au point b. La valeur finale f{b) fournie par la ligne P' est évidemment la même qu'on obtiendrait en suivant la li^ne P.P~*P'. Tout revient donc à montrer que, après être arrivé en un point ([uelconque b par une ligne P avec la valeur finale f{b), on retrouve la même valeur après avoir décrit un contour [)olygonal fermé tel ducP-'P'.

Cette proposition sera évidemment vraie pour un contour polygonal quelconque, si elle l'est pour un contour II sans point multiple (199). On voit également cjue^ si elle est vraie pour deux contours bcdeb et befgh ayant un coté

sÉiuES. 335

commun be {fig- 7), elle le sera pour le contour bcdefgb formé par la réunion des autres côtés.

Cela posé, soil FI l'un des contours considérés. On peut le décomposer par des diagonales en triangles, ayant chacun un coté commun avec le suivant; et il suffira d'établir le théorème pour un des triangles T.

348. Soit z — Z> = CD (^) + /'!(/) la loi de variation de z le long du pourtour de ce triangle. Réduisons tous les rayons vecteurs dans un même rapport; nous obtiendrons un nouveau triangle T„, semblable à T, et sur le pourtour duquel

on aura

u étant <C I . ï^e triangle T„ sera contenu en entier dans T et, par suite, sera intérieur à C.

Désignons par U l'accroissement que prend /(^) lorsque z revient au point b après avoir décrit le triangle T„. Si u varie de o à i , U sera une fonction de a\ il nous faut montrer qu'elle est constamment nulle.

Tout d'abord, sa dérivée est nulle. En elfet, pour obtenir les valeurs de j\z) sur le périmètre de T„, nous partageons ce contour en arcs partiels 66,, ..., 6/6/^,, ... et nous déterminons une suite d'éléments S, ..., S/, ... dont les cercles de convergence K, . . ., K/, . . . contiennent ces arcs à leur intérieur. Si nous changeons w en u-\-du^ chaque arc bibi^^ sera remplacé par un autre arc infiniment voisin, qui sera encore intérieur à K/. On pourra donc utiliser la même suite d'éléments S, . . ., S^- que précédemment; on obtiendra donc pour f{b) la même valeur finale.

Donc U est une constante. D'ailleurs cette constante est nulle. En effet, si u est infiniment petit, tous les points de 1,^ se rapprocheront indéfiniment de b et finiront par être contenus dans K. On pourra donc dans ce cas déterminer /(g) en chaque point de T„ au moyen du seul élément S, lequel n'a au point b qu'une valeur unique et déterminée égale à la valeur initiale J'{b).

La fonction /(j:) n'a donc bien qu'une valeur en chaque point intérieur à G. Elle est, d'ailleurs, sjnectique, car elle est représentée aux environs de chacun de ces points par un développement en série c|ui admet une dérivée continue.

349. Corollaire. — La fonction /(^), déduite d'un élément de fonction analytique S, admet au moins un point critique sur la circonférence du cercle de convergence K de cet élément.

'Supposons, en elïet, qu'il en soit autrement. Dans tout le cercle K, y compris sa circonférence, f{^z) n'aura qu'une seule valeur en chaque point, et, aux environs d'un point h de ce domaine, cette fonction sera représentée par un développement

convergent dans un cercle K^,, de rayon R^ plus grand que zéro. Ce rayon R^ est une fonction continue de h. Soient, en effet, b -\- db un point voisin de b^ Rô|.r/6 le rayon correspondant. La formule de Taylor permet de développer S^ suivant les puissances de z — [b-\-db) en une série sûrement convergente dans l'intérieur de tout cercle ayant pour centre b -\- db et un rayon moindre que R^ — \db\ ; car ce cercle sera intérieur à K^. Donc R^[.(/6 ne peut être moindre que Rô — \db |. On verra de même que R^ ne peut être moindre que V^b+db — I r/6 |. Donc | ^b+db — Ré 1 sera '^\db\ et tendra vers zéro avec db.

D'ailleurs le domaine K (la circonférence comprise) est parfait. Donc R^ admet dans ce domaine un minimum et l'atteint. Comme R^ n'est jamais nul, ce minimum o sera >o.

Cela posé, considérons un cercle R^ concentrique à K et de rayon R-f-^p. Soit L une ligne quelconque tracée dans ce cercle. Partageons-la en arcs aa,, ..., a/rt/,.i, ... assez petits pour que chacun d'eux, aiaij^^^ soit contenu en entier

à l'intérieur d'un cercle de rayon - ayant cii pour centre. On

pourra déterminer un point bt situé dans l'intérieur de K ou

sur sa circonférence et dont la distance à ai soit << -• Le

cercle K^- de rayon 0 ayant son centre en bt contiendra donc à son intérieur l'arc aiai^y tout entier. Deux cercles consécutifs K/, K/^< et le cercle K auront une région commune; car la droite 6/6/4.) ^^^ contenue dans K, et, sa longueur étant au plus égale à 6/rt/-h «/«/+, + «/+, 6/^.1 <| p, son milieu est intérieur à chacun des trois cercles.

Gela posé, on peut déterminer un élément

contigu à S et convergent dans le cercle K/ (ou dans un cercle concentrique plus grand). Les éléments S/, S/^, ainsi définis seront contigus, car l'égalité

a lieu dans toute la région commune à K, K/, K/^.) . La suite des éléments S, . . ., S/, . . . permettra donc de déterminer la valeur de f{z) tout le long de L.

Donc f{z) n'a aucun point critique dans l'intérieur du cercle K' de rayon R + ^-p. Elle sera synectique dans ce cercle; donc le développement S sera convergent dans tout l'intérieur de ce cercle, et le rajon de convergence ne sera pas R comme nous l'avions supposé, mais une quantité plus grande.

350. Si les lignes L tracées dans l'intérieur d'un contour fermé G et aboutissant au même point b donnent toujours pour chaque position de b une valeur finale unique f{b)^ on dira que f{z) est monodrome dans l'intérieur de G.

Si f{z) est monodrome dans tout le plan, nous dirons qu'elle est uniforme.

3oL Théorème. — Si f(z) est monodrome dans V intérieur de G, un point intérieur à G, critique pour V une J. — I. 22

des lignes 1. {intérieures à C) qui y passent^ le sera pour toutes les autres.

Soient en efïel b un point quelconque intérieur à C; L el L' deux lignes qui le joignent au point de départ a et qui n'offrent ni l'une ni l'autre de point critique avant b.

Supposons que le point b ne soit pas critique sur L. Sur la dernière partie de cette ligne, on aura f{z)=zS,fi^ S^ étant un élément tel que b soit dans l'intérieur de son cercle de convergence K,,;. Soit o la distance de ^ à la circonférence de ce cercle. Déterminons sur la ligne L' un point [i assez voisin de b pour que l'arc b^ soit encore contenu dans K,,^. Le dévelo|)pement S^^ pourra encore servir à déterminer la valeur de /{z-) au delà du point b sur l'arc b'^. La fonction étant monodrome, cette valeur doit coïncider en chaque point de cet arc avec celle qu'on aurait obtenue en suivant la ligne L'. Dans ce dernier cas, on aurait au point ^3 et dans son voisinage f{^) = S,'„., S,',,, étant un élément tel que p soit intérieur à son cercle de convergence K,'„,. Les deux cercles K„<, K,'„, empiètent l'un sur l'autre, et sur la portion de l'arc b[i voisine de jîi on a constamment S^^ = S,'„-. Donc l'élément S/„ est contigu à S,'„, et peut servir à définir /(::) sur la portion de la ligne L' située au delà de [S, y compris le point extrême b. Donc b n'est pas critique pour L'.

302. Les points critiques d'une fonction monodrome forment un ensemble parfait. Car un point non critique, étant le centre d'un élément qui définit la fonction dans son voisinage, est nécessairement à distance finie des points critiques et ne peut être un point limite pour ceux-ci.

303. Les détails circonstanciés que nous venons de donner sur les fonctions analytiques d'une seule variable nous permettront d'être plus bref sur les fonctions de plusieurs variables.

Soit

S = lA„,,{z-ar{z'-a')-'

une série procédant suivant les puissances entières et positives de z — a et z' — a'. Si elle est convergente pour des valeurs ^ = Ç, z' = Ç', telles que \^ — a\ et \'Q — a' \ soient tous deux différents de zéro, on aura, en appelant /• la plus petite de ces deux quantités,

•et, par suite,

Il -(- « = 00

M désignant une quantité fixe.

Si cette condition est remplie, soit p une quantité quelconque <C /• : la série S sera absolument et uniformément convergente, ainsi que les séries dérivées

pour l'ensemble des valeurs de -3, :;' qui satisfont aux

Jités

\z — a\ = p, \z'—a'\lp.

En etfet, considérons — par exemple; on aura

ôz

2d r' <piantité qui est le produit des deux séries convergentes

On conclut de là que : i*' si pour aucune valeur positive de /• la condition (2) n'est satisfaite, S ne peut converger que si l'une au moins des deux quantités z — a, z' — a' s'annule;

34o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III.

2° Si elle est satisfaile quel que soit /-, S sera convergente dans tout le plan et représente une fonction sjnectique;

S'* Enfin, si elle est satisfaite seulement pour certaines valeurs de r sans l'être pour les valeurs plus grandes, soit R la frontière entre ces deux classes de valeurs : S sera convergente et sjnectique tant que z et :;' resteront respectivement à l'intérieur de cercles K, K' de rayon R décrits autour de a et de a' . Elle sera divergente si z et z' sortent tous deux de ces cercles. Il y aura doute dans tous les autres cas.

Une semblable série S, considérée dans la région de convergence certaine définie par les deux cercles ci-dessus, constituera pour nous un élément de fonction analytique à deux variables.

3o4. La série S sera identiquement nulle si l'on peut déterminer deux séries de valeurs z^^ ..., 5/, ... et 5'^, ..., ^J^, ... convergeant respectivement vers a eta' et telles qu'on ait, pour toutes les valeurs de i et de A",

S(:;„ 4) = 1 A,„-(G,- aY{z,- a'Y'^ o.

En effet, la série S ordonnée suivant les puissances de z — a peut s'écrire

les T étant des séries qui procèdent suivant les puissances de z' — o! .

Assignons à z' la valeur constante Zf. ; S deviendra une fonction de la seule variable ^, admettant une infinité de zéros ayant a pour limite; on a donc nécessairement To = o, Ti = o, .... Or chacune des quantités T est une série procédant suivant les puissances de z^ et admettant une infinité de zéros qui convergent vers a^ Elle est donc identiquement nulle. JJonc tous les coefficients A seront nuls, ce cpi'il fallait démontrer.

3oo. Thkorèmk. — Soit f{z^ z') une fonction synectiqiie, définie pour tous les systèmes de valeurs de z et z'

respectivement compris dans V intérieur de deux contours fermés G et C. S'il existe deux séries de valeurs ^,, . . ., z-i, . . . et z\^ . . .j z'f^, . . . de ces variables, convergeant respectivement vers a et a', a étant intérieur à G et a' intérieur à C, et pour lesquelles on ait constamment

/{z^ z') sera identiquement nulle.

Soient en effet 6, b' deux points quelconques pris dans l'intérieur de G et de G'; joignons-les aux points <2, a' par des lignes polygonales L, VJ intérieures à ces contours. Désignons par £ une quantité moindre que les plus courtes distances de L à G et de L' à G'. Partageons les lignes L, 17 en arcs partiels aa,, . . ., «/«/^j, ... et a' a\^ . . ., a',^a'f.^^^ ... de longueur moindre que e.

La fonction /(v, z') sera développable par la série de Taylor aux environs de chacun des systèmes de valeurs a/, a!-^ et le développement, étant convergent tant que \z — a/|, \z' — «/ 1 sont <<£, s'appliquera tant que z et ^' resteront sur les arcs aiai^^^ a-a\^^.

En vertu des hypothèses faites, le premier développement suivant les puissances de ^ — a, z' — a' aura ses coefficients identiquement nuls.

Les points a,, a\ seront à leur tour des limites de suites de points ^,, Z21 ... et z\^ s^, ... respectivement situés sur aa^ et a' a\ et qui, associés deux à deux, annuleront y(3, z'). Donc le second développement suivant les puissances de z — «1, z' — a\ sera aussi identiquement nul. Gontinuant ainsi, on arrivera jusqu'aux points 6, b' ^ où l'on aura encore f{b,b')=o.

La condition exprimée dans l'énoncé du théorème sera évidemment satisfaite si l'on peut tracer à partir des points a^ a' deux arcs de courbe X, V (quelque petits qu'ils puissent être) tels que /(^, z') s'annule pour tous les systèmes de valeurs de z et z' respectivement situés sur X et )/.

306. Nous dirons que deux éléments de fonction analytique S, S, dont les régions de convergence certaine sont respectivement définies par les couples de cercles K, K' ayant pour centres a, a^ et K,, K'^ ayant pour centres a,, d^ sont contigus, si : l'^K, empiète sur K, et K', sur K'; 2" S et S, ont la même valeur pour tous les systèmes de valeurs de z^ z' tels, que z soit dans la région commune à K, et K, et z' dans la région commune à K', et K'.

Cette condition sera évidemment remplie si l'égalité S=S, est satisfaite pour tous les systèmes de valeurs de z et z'' respectivement situés sur deux lignes X, >/ tracées dans l'intérieur des régions ci-dessus.

Si a\ est intérieur à K et a\ intérieur à K', la fonction S pourra être développée par la série de Taylor suivant les puissances de z — r/, et z' — a\ en une série convergente aux environs des points a, , a\ . Ce nouveau développement S » sera un élément de fonction analytique contigu à S.