Tout élément
peut servir de point de départ, comme il suit, à la définition d'une fonction analytique f{z, z').
Supposons que 5, z', partant des valeurs initiales a, a', varient simultanément, d'une manière continue, suivant une loi exprimée par les équations
A. chaque valeur t de ^ correspondront pour z et z' deux valeurs associées Ç et Ç' ; ces deux variables décriront ainsi deux lignes L, U se terminant respectivement en des points associés 6, b'.
Admettons qu'on puisse décomposer la ligne L en un nombre fini d'arcs partiels ««,, . . ., aiai^t, ... et déterminer une suite d'éléments correspondants S, ..., S/, ..., jouissant des propriétés suivantes :
La région de convergence certaine de S/ étant définie par les deux cercles K/, KJ, l'arc a/<7/^, sera contenu en entier dans l'intérieur de K/, et l'arc associé o!^a-^^ de la ligne 17 sera contenu dans l'intérieur de K^-.
La fonction /(s, z') que nous nous proposons de former sera définie pour chaque système de valeurs associées de z^ z' situées sur les arcs ciiaij^^^ ^'i*^'i+\ P^^* ^^ relation
En utilisant successivement les divers développements S, ..., S/, ..., la fonction se trouvera définie pour lous les systèmes de points associés situés sur L et L', et en particulier pour le système des deux valeurs extrêmes Z>, b' .
On démontrera comme au n" 34-3 que la valeur trouvée ne dépend que de la loi de variation simultanée de z^ z' et nullement du choix des points de division a,, ..., a/, ..., et des éléments S , , . . . , S/, ....
S'il est impossible de passer, comme on l'a supposé, des points initiaux a, a' aux points ù, b' au moyen d'un nombre fini d'éléments S, . . ., S/, . . ., les couples de points associés a, a' des lignes L, L' qui pourront être atteints par ce procédé seront séparés des suivants par un couple frontière 3, P'; et nous dirons que ce système de valeurs ^ = p, z' ^=^' est critique.
358. On peut établir, par une analyse identique à celle des n^^ 346 à 349, les propositions suivantes :
Si, lorsque z et z' se déplacent d'une manière quelconque dans l'intérieur de contours fermés G et G', on ne rencontre aucun système de valeurs critiques ; fi^z^ z') n'aura qu'une valeur en cJiaque point de ce domaine, et sera synectique.
La fonction analytique f{z^ z') déduite d'un élément S, aux cercles de convergence K, K'^ admet au moins un système de valeurs critiques dans le domaine constitué par ces cercles {y compiis les circonférences fro/)/ières).
La définition d'une fonction moiiodrome dans le domaine formé par deux contours C, G' sera la même qu'au n° 3oO. On verra aisément que pour ces fonctions un système de valeurs critic|ues restera toujours tel, quelle que soit la loi suivant laquelle z et z' se déplacent pour y parvenir.
Enfin une fonction sera uniforme si elle est monodrome dans tout le plan.
3o9. Théorème. — Soit
une série procédant suivant les piùssaiwes entières et positives de z, z',
Posons
z = léaii\,^uhi'^' .
-la'i,,..u'u"'
et supposons : i" que les séries ci-dessus admettent chacune un rayon de convergence; 2" que les termes constants «007 ' ' ", <^oo5 ••• ^^^ séries en u, u\ ... soient nuls. La fonction S, exprimée au moyen des nouvelles variables u., «', . . ., sera donnée par une série
S = lC„„'.„u^u"''...
admettant un rayon de convergence.
Substituons en elfel dans S les valeurs de z^ z' ^ . . ., effectuons les multiplications et groupons les termes affectés des mêmes puissances de «, u' ^ . . .. Nous obtiendrons pour S un développement de la forme demandée.
Les opérations que nous indiquons seront licites et la série ol) tenue sera convergente si la série intermédiaire où tous les termes étaient encore séparés est absoluiTwent convergente.
La somme a- des modules des termes de celle-ci est égale à
l\Kn:..\[^\au-...u' u'^' . . .\Y[:L\a'u;„u' u'^' . . .\Y . . .,
Il faut prouver que cette quantité restera finie tant que I w I, I «'|, ... ne surpasseront pas une quantité fixe X convenablement choisie.
On peut déterminer, par hypothèse, des quantités M, R, iïi^ 7', m', r' ^ . . . telles que l'on ait
Posons, pour abréger.
On aura
