CT < M

Cette quantité restera donc finie tant que (^, ^' ^ . . . seront <C R.

Or on a

,'/-hi'-

ou, si tous les modules \u\, \u'\^ ... sont <CX, et si k désigne

le nombre des variables u.

Cette quantité sera < R, si l'on a

d'où

[Ry-j-^"'

346 PREMifeRR PARTIE. — CHAPITRE III.

On trouvera de même pour \ des valeurs au-dessous, desquelles chacune des quantités c', ... sera <CR. En prenant pour X le plus petit des nombres ainsi trouvés, la con-

360. Cas parlicaliej's. — Si l'on prend pour S, au lieit d'une série infinie, un des polynômes z -\- z' ^ z — z\ zz\ on voit que l'addition, la soustraction ou la multiplication de séries ayant un rayon de convergence donne une série de même nature.

Si l'on prend pour S la série

on voit que l'inverse de la série

est développable suivant les puissances entières et positivesde ;/, II! ^ ..., en une série admettant un rayon de convergence, pourvu que le terme constant aoo» • • ne soit pas nul.

361. Théorîsme. — Soit S(i/, ^,, ..., Zn) un élément de fonction analytique à n -\- \ variables. Si l'équation

a n racines nulles, l'équation

admettra, si Zi, ..., z,i sont infiniment petits, n racines infiniment petites.

Nous renverrons à plus tard la démonstration générale de cette proposition. Pour le moment nous nous bornerons à traiter le cas où n^=\. Dans ce cas particulier, l'énoncé précédent peut être complété comme il suit :

TnÉoiiiiME. — Si L'équation S(w, 0)1=0 a n racines

SÉRIKS. 3^7

nulles, V équation S(u, z) = o admettra, pour z infiniment petit, n racines infiniment petites.

Chacune déciles sera représentée, aux environs du point :? = o, par un développement convergent, de la forme

U rrM^H-4-Mi:;î^.-i-. . .,

OLi tjL, tjL,j . . . sont des fractions positives croissantes, telles que le plus petit commun multiple m de leurs dénominateurs soit ^n.

Dans certains cas particuliers, plusieurs de ces racines pourront être égales et seront représentées par le même développement. D'autre part, il peut arriver que quelques-unes des séries U s'arrêtent après un nombre limité de termes [ou même se réduisent à zéro si S{u, z) contient u en facteur commun].

Pour établir cette proposition, nous supposerons provisoirement que les racines chercliées existent et admettent chacune un développement de la forme U; nous déterminerons les nombres M, |jl, M,, jjl,, ... par la méthode des coefficients indéterminés, au moyen de l'équation

Nous verrons qu'il existe n développements U satisfaisant à cette condition: et nous montrerons qu'ils sont convergents aux environs de 5 = o.

362. Ordonnons S suivant les puissances croissantes de u; en remarquant que quelques-unes des puissances de u peuvent numquer dans cette série, nous pourrons écrire généralement

R désignant l'ensemble des termes qui contiennent u à une puissance supérieure à n, et o,, cp2, ..., o,i étant des séries de puissances entières de z.

Ordonnons ces séries suivant les puissances croissantes

de z; en vertu des hypothèses faites sur S, cp„ commencera par un terme constant A^^ ; et si ?<<«, Oi commencera par un terme A.iz'^i, où a/> o.

jNJetlant ces termes en évidence, on aura

Substituons dans cette expression à la place de a le développement

U = M ^!^' 4- Ml :;H-. + . . . = M5[^-+- p.

Le résultat S(w, z) de la substitution sera une série de

puissances entières de 5'". Pour qu'il soit identiquement nul, il faudra que les termes d'un même degré, et en particulier ceux du degré minimum, se détruisent. 11 faut donc : i" qu'il y ait plusieurs termes de degré minimum; 2" que la somme de leurs coefficients soit nulle.

363. Or il est clair que les termes de degré minimum ne peuvent se trouver que parmi les suivants :

Donc la suite des exposants

(3) «i-l-Pip., a2+P2f^, ••-, '^I^

doit présenter plusieurs termes minima.

Pour déterminer ^ par cette condition, remarquons que les entiers (ïi,, ^25 ..., ^ vont en croissant. Si donc nous faisons varier p. de o à oc, chacun des nombres de la suite (3) croîtra plus rapidement cjue les précédents, et finira par les surpasser.

Mais, pour ul infiniment petit, n^ sera évidemment le plus petit nombre de la suite. Si l'on fait croître jjl, il arrivera un moment où /? tji deviendra pour la première fois égal à un ou à plusieurs des nombres précédents. Supposons qu'on ait à cet instant

«/ -t- j3//JL — a,- -h ;3i/ji r= . . . — /i |jL («</'<...< n ).

Si ui continue à croître, l'exposant a/4- ^,[a, qui, à cet instant, n'est supérieur à aucun des suivants, et croît moins vite qu'eux, deviendra à son tour minimum, jusqu'à ce qu'il atteigne un ou plusieurs des précédents. Soit à cet instant

(4) ayt4- j3/,p. = a/,'4- j3/,'^ =...= a,--+- (3,-p. {k < A-'<. . .< «).

A partir de là, a/f-H [^^tji deviendra à son tour minimum, et ainsi de suite, jusqu'à ce que a, + [^< pi devienne, et reste définitivement minimum.

Nous obtenons ainsi un certain nombre de valeurs de ul, donnant chacune plusieurs exposants minima. Considérons l'une d'elles, par exemple celle qui est définie par les équations (4). Elle sera rationnelle, car on a

et les quantités a, 3 sont des entiers. Soit d'ailleurs a cette fraction, réduite à sa plus simple expression : on aura

y', . . ., Y étant des entiers.

364. Les valeurs de M correspondant à cette valeur de a s'obtiennent en égalant à zéro la somme des coefficients des termes de degré minimum. On obtient ainsi l'équation

o = d;(M) =r A/,M?A-+ A/,.M.V+ . . . 4- A,MP.

r= i\ll^A(A/,H- A/,'MT''?-+-. . . + A.-Mï'?).

Le nom])re des racines non nulles de cette équation est égal à [j/ — [ifç. Si donc on considère toutes les valeurs ci-dessus trouvées pour jjl avec les valeurs correspondantes de iM, on trouve un nombre total de systèmes de valeurs de ([ji, M) égal à

D'ailleurs l'équation S(^<, ^) = o, admettant 11^' comme

35o PHEMIÈRE IMIITIE. — CIIAIMTHE III.

facteur commun à son premier membre, a ^, racines identiquement nulles. Nous avons donc bien trouvé le premier terme du développement de chacune des autres racines.

On remarquera toutefois que, l'équation '11(^1) = o pouvant présenter des racines mulhples, plusieurs des systèmes •de valeurs (a, M) peuvent être égaux.

Soient M une des racines non nulles de l'équation '^(M)=o, ./?! son ordre de multiplicité. Le piemier membre de cette équation ne contenant (après suppression du facteur commun MPa) que des puissances de M multiples de q^ elie admettra évidemment la racine OM, 8 désignant une quelconque des racines ^'^""^^ de l'unité, et avec le même ordre de multiplicité. Le nombre total de ces racines sera donc au moins égal à /i, q\ d'où l'inégalité

et, a fortiori,

fhq^n.