Posons maintenant

Us-) Z\ étant de nouvelles variables : il viendr.i, en posant pour abréger 7./+ ^i/jj. = X,

S, désignant un nouvel élément de fonction analytique ((ui, pour V = 0, se réduit à 'li(M + «, ), Or l'équation

admet la racine u^ ^ o, avec le degré de multiplicité n^.

J^'équation S,(//|, 3<) = o admettra donc, pour -• infiniment petit, /i, racines infiniment petites; nous pourrons calcubîr la valeur principale de chacune d'elles, hupielle sera de la forme

où \jJ est une fraction de la forme - • Si /?<> est le nombre

des racines qui ont cette même valeur principale, on aura et, en posant

on aura une relation de la forme

Si[(Mi-h^/,)^!f',^l]r=4'S2(^^2,-2),

S:. = o admettant, pour z infiniment petit, n^ racines infiniment petites.

SuJjsti tuant la valeur ci-dessus de u^ dans l'équation (5), et posant, pour abréger,

il viendra

366. Poursuivant ainsi, on aura, en désignant par / un entier aussi grand qu'on veut,

S[M5H-+M,G!^.-}-...-h(M/,-i-«,)^i^^-i,^] = ^V,S,-(^/,-, ^,-), jji, ijL,, ..., [jL/, étant une série de fractions de dénomina-

teurs ^, </^,, ..., 7^|...^/i, Zi étant égal à -vvi-y'-'^ et S^une série de puissances telle que, pour ^ = o, l'équation S/:= o admette rii racines nulles. Enfin, on aura la suite d'inégalités

et, rt fortiori,

qqy...(ji,ln.

Les entiers positifs /i, /i,, /io, ••• forment une suite non croissante qu'on peut prolonger indéfiniment. Comme ils ne peuvent s'abaisser au-dessous de i, il arrivera nécessaire-

ment un moment où ils cesseront de décroître; à partir du même instant, les q deviendront égaux à l'unité.

On aura donc, pour toutes les valeurs de i qui surpassent un nombre fini,

V et m étant des entiers constants, au plus égaux an; et [jl,, li.^, ..., jJ.i i seront des multiples de —

367. Deux cas seront à distinguer ici : i'* Si V = I, la série

^i{Ui,Zi)—^i\Ui,Z^)

s'annule pour Ui=zo^ 5 = 0, mais sa dérivée partielle -y— ^ n'est pas nulle. L'équation

définit donc aux environs de ^ = o une fonction synectique

de z"\ développable suivant les puissances de cette quantité. Substituant ce développement à la place de ut dans l'expression

on aura un développement U qui satisfait à l'équation

2^ Si V > I , le second membre de l'équation

(6) S(;/, z) = S[M2!^+...-+- (M,-, -H w,-)^H-'-<, z^ — z^-^'^iUii, z

contiendra un terme de la forme z^i-^^u], ^ étant une constante. Mais, au premier membre, ai ne figure que multiplié par z^'i-^ ; on aura donc nécessairement

Gela posé, soit p un entier quelconque <Cv. Prenons la p'^'"^ dérivée par rapport à u de l'équation (6); il viendra

Cette équation montre qu'en partant de la série -r— - S (w, z)

on obtiendrait un développement qui coïncide dans ses i premiers termes M-sl^-f- . . . + M/4 5l^t-« avec celui déduit de S (a, z). Le nombre i étant quelconque, la coïncidence sera complète.

Ce développement est convergent; car, si l'on pose en

particulier p = v — i, la fonction ^^ s'annulera pour

w/=o, ^ = o, mais non sa dérivée partielle -r — ^-' L'écfua-

^ du\ ^

^v-lg.

tion - ^l- =: o définira donc une fonction ut sjnectique

\ en z"^ et dont le développement est convergent.

Le développement U = MsH--!- Mi^l^i-f-. . . ainsi obtenu, substitué dans les équations