On ramène à Tun des cas précédents l'équation

(i) F [^,7,2, r^{cc)] = Oy

F étant une fonction déterminée, cp(c«) une fonction arbitraire, et a une fonction déterminée yi(.r,j^, z). En effet, si l'on pose

i82 COURS d'analyse.

Oïl aura

d'où résulte

Ainsi, Féqualion (a) établit une relation arbitraire entre deux fonctions déterminées des variables oc^j et z,

648. Soient maintenant trois fonctions déterminées ' de quatre variables, x, j, z et u^ savoir :

(i) a=/,(^, j, 2, «), ^=zf.,{x,y,z,u), 7^/3(^,7, z, m),

et cf une fonction arbitraire 5 supposons que l'on ait l'équation

Posons, pour abréger,

du du du

'dx""-^' 'dj""'^' d^-'''

et différentions l'équation (2), tour à tour, par rapport à X, y et ^z 5 nous aurons

d(s> Ida. dix \ da /rZS d^ \ d(f f dy dy

da \d.x du I d^ \dx du j dy \dx du ,„, ) d'S) f da. da. \ dm ( d^ d^ \ dta I dy dy

da. \dz du I d^ \dz du j dy \dz du

L'élimination des rapports -— ' 1^^ "~7^ • "T" entre ces ^^ da. dy d& d'

trois équations conduira évidemment à une équation aux dérivées partielles de la forme

(4) P/?^- Qy + R7'==V.