Soit (i) Py, + Q7=R

une équation dans laquelle P, Q et R désignent des

fonctions données de x, y ei Z] p el g les dérivées par-

. ,, dz dz ^ , , . ,

lielles -—5 — -• Intégrer celle ecruation, c est trouver une dx dy ^ ^

autre équation

telle, que les valeurs de p et de q qui s'en déduisent rendent identique l'équation (i). Or, nous venons de voir qu'on parvient à une équation telle que (i) lorsque deux fonctions

élant liées par une relation quelconque

on élimine la fonction arbitraire tp. Dès lors il est naturel de chercher à satisfaire à l'équation (i) par une équation de la forme (4).

652. Supposons donc que l'intégrale de l'équation (i) Py.-f-Qy = R

soit

a et ê étant des fonctions inconnues de x^j et z. On tire de l'équation (2)

{ da. doL ,,^, /r/§ r/S \

' \T.-^d^.p-^^'^\dr^T.py

Il faut qu'en éliminant p q\ q entre les équations (i) et (3) on retombe sur une équation identique, ou qui devienne identique en ayant égard à l'équation (2).

Si l'on ajoute les équations (3) après les avoir multi-

CIINQUÂJVTE ET UNIEME LEÇON. iB"

pln'es respectivement par P et Q, on aura

dy. d'x , dy.

'''<^ï-QS-(''/'-Q^)g

ou bien, en avant éfrard à

d-r dy dz ' ' \ cU dj dz

Or, on satisfera identiquement à cette équation, quelle que soit la fonction ç, en choisissant les fonctions a et o de telle sorte que l'on ait

da. ^ dy. da

(ix a y dz

dx dy ' ^ dz '

et ces conditions seront remplies (629) si Ton prend pour a et ê les fonctions y(x,j, z), J\ (x^j^ z)^ qui, égalées à des constantes, donnent les intégrales des équations simultanées

dx dy dz

D'ailleurs, toute intégrale

de l'équation (i) peut être mise sous la forme (2). En effet, on tire de l'équation (6)

__ r/T ^ ^P __dF d¥

dx ' dz dy * dz

et ces valeurs étant portées dans l'équation (i), qu'elles doivent rendre identique, puisf£ue F = o est une intégrale, on aura

^dV ^dF „ r/F dx dj dz

i86 COURS d'analyse.

d'où Von concîul (632) que F est une fonction de a et de o. Donc l'équation (6) équivaut à une relation, cx. = (^[o)^ entre ces deux fonctions.

De là résulte que non-seulement l'équation (2)

dans laquelle a et ê désignent des fonctions qui remplissent les conditions (5), et o une fonction arbitraire, satisfait à l'équation (i), mais encore que c'est l'équation la plus générale qui résolve le problème. On arrive donc à cette conclusion ;

Si

sont les intégrales du système

dx dy dz

et si Von pose

a =f[x, J, z), ê =f,{x, jr, z) , r intégrale de V équation

sera

a=:cp(6),

ç désignant une fonction arbitraire,