Soit proposé d'intégrer l'équation

(i) Py? -f-Q7 -f-Rr= V,

dans laquelle P, Q. R, V sont des fonctions de quatre variables x^j, z, u, et /?, g, r désignent les dérivées partielles de u, considérée comme fonction de x,y, z^ savoir:

du du du

dx dj dz

C1NQUA3NTE ET IJKIÈME 1E<;0N. I ^^9

Posons

/? /lî/a étant des fonctions inconnues de t, /, ^, u. Soit

l'intégrale de l'équation (i).

On tire de récjuation (3) / dot. dcc do (do d^ \ d'o /r/y «r/y

de ' du '^ <r/o \//^^ ' du j d^j \dx du ., ] doi da d(ù I d^ do \ d^ UUi d-/ .

\ dz du d^ \dz du j <:/'/ \flz

Ajoutons ces trois dernières équations, après les avoir respectivement multipliées par P, Q, Pi. Il en résultera, en ayant égard à Péquation (i),

dx ^ dx dot. ^ dot.

dx dy dz du

^ dz \ d.v <{y dz

(d^l dy dy dy \

dx dy dz du]

Or, cette équation sera satisfaite, quels que soient — et

-j-^ et, par conséquent, quelle que' soit la fonction cp, si

l'on prend les fonctions inconnues a, ê, y, de telle sorte que

soient les intégrales du système

d.T dy dz du

(7) T^iy^ir^v'

igO COURS D ANALYSE.

puisque les trois fonctions (6) rendent identique l'équation

Donc, a, S, y étant ainsi déterminées et 9 désignant une fonction arbitraire, l'équation (3) sera l'intégrale de l'équation proposée (i).

On prouvera, d'ailleurs, qu'on a la solution la plus générale du problème proposé en faisant voir, comme au n^ 6o2, que toute intégrale de l'équation (i) équivaut à une relation entre les fonctions a, ê, y.

658. On remarquera, comme dans le cas de trois variables (634), que la résolution du système (6) fournira l'intégrale de chacune des équations suivantes :