Intégrer V équation à différentielles partielles
^ dz , . dz
Solution
2, Déterminer une surface telle, que le plan tangent mené par un point quelconque ]\I rencontre une droite donnée de position en un poiîit qui soit également distant du point M de la surface et d'un point fixe pris sur la droite donnée.
Solution : Prenant le point fixe pour origine et la droite donnée pour axe des z, l'équation de la surface est
<ï> désignant une fonction arbitraire.
3. Déterminer une surface telle, que le plan tangent mené par urt pomt quelconque M rencontre une droite donnée de position en un point dont la distance à un point fixe pris sur cette droite soit égale à la distance de ce point fixe au point M de la surface.
Solution : Mêmes axes
IÙ2
coins D ANALYSE.
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES.
Surfaces cylindriques, — coniques, lion. — Lignes de niveau,
conoïdes. — Surfaces de révolu- ■ de plus grande pente.
SLRFACES CYLIIVDRIQUES.
660. On appelle surface cylindrique toute surface engendrée par une droite indéfinie MN qui se meut parallèlement à une droite donnée OD, en s'appuyant constamment sur une courbe donnée AB, nommée directrice.
Soient
les équations de la génératrice MN : a exb sont des coefficients constants qui expriment que MN est toujours parallèle à OD; a et ê désignent des paramètres variables avec la position de la génératiice. Soient
F (-^j Jj z) =o, F, (a;, j, 2) = o ,
les équations de la directrice AB.
On exprimera que cette courbe et la génératrice se rencontrent, en éliminant x, jx" et z entre les équations (i) et (2). Si
est le résultat de cette élimination, il faudra, pour avoir Téquation de la surface cylindrique, éliminer a et o entre les équations (i) et (3), ce qui donne
CINQUANTE-DEUXIÈME LEÇON. It}3
eu
(4) jr — bz = ^ [x -~az)j
<P désignant une fonction quelconque. C'est l'équalion la plus générale, en quantités finies , des surfaces cylindriques.
661. Réciproquement, toute surface dont l'équation a la forme (4) est cylindrique, car cette surface contient les droites parallèles qui ont pour équations
X — rtZ =: a , j~bz = ^,
es constantes a et ê satisfaisant à l'équation ê = <^i^ (a).
662. Pour avoir l'équation aux différentielles partielles des surfaces cylindriques, on diiférentiera l'équation (4), tour à tour, par rapport à x et à j^ : en posant
dz dz
on a
— bp ■s=i:<^' (x — az) (i — «/?),
I — bq :=z — <i)' [x — az) y<, aq, d'où résulte, en éliminant ^' [x — az) ,
(5) ap -^ bq=zi^
équation générale, aux dilférentielles partielles, des surfaces cylindriques.
663. Cette équation exprime que le plan langent à la suiface est toujours parallèle aux génératrices.
En elfet, le plan tangent mené par un point quelconque (a:, y^ z) àe la surface a pour équation
et la condition pour que ce plan soit parallèle à la droite
X=«Z, Y=.bZ, est, comme l'on sait,
ap -\- bq z^l, Sturm. — An., II. l3
664. Pour intégrer l'équation, aux différentielles partielles, des surfaces cylindriques,
ap -\- bq =11^ il faut d'abord (652) intégrer le système
dy b "~
dz,
ce
qui donne
— az z= Cj
-bz =
par conséquent, 1
'équation
— az^
j- — bz -
— az)
Z>^) =r o, ou
est l'intégrale cherchée.
665. La fonction arbitraire 4>, qui entre dans l'intégrale générale, peut être déterminée par diverses conditions.
Si, par exemple, on veut que la surface cylindrique passe par une courbe donnée
on posera
(2) X — azz=La.^ y — bz = Q.
Les équations (i) et (2) doivent être satisfaites par les mêmes valeurs de x,y, z, pour que tous les points de la courbe soient sur la surface. En éliminant x, j. z entre ces quatre équations, on trouvera une relation telle que ^ (a, S) = o, d'où ê = ^ («) -, on aura donc par ce calcul la forme particulière de la fonction ^.
666. Si la surface cylindrique doit être circonscrite à une surface donnée
(l) F(jr, J, z)=0,
on commencera par déterminer la courbe de contact, ce qui ramènera le nouveau problème au précédent. Or, l'équation (i) est déjà une des équations de celte courbe. On obtiendra une seconde équation en exprimant que la
surface donnée et le cylindre ont le même plan tangent en chaque point de cette courbe.
Le plan langent à la surface (i) a pour équation
L'équation du plan tangent au cylindre est on aura donc
dY
dF
dz dz
En portant ces valeurs dans l'équation ap -\- bq = 1^
dV
on aura
^d¥ dY
dx dj
dz
Les équations (i) et (2) déterminent complètement la courbe de contact.
Fig. 118.
