SURFACES DE RÉVOLUTION
672. Les surfaces de résolution sont celles que l'on obtient en faisant tourner une certaine courbe autour d'une droite fixe, nommée axe de révolution.
Pour plus de simplicilé prenons l'origine sur Taxe OD.
Soit AMB la courbe génératrice. Dans le mouvement de
cette ligne chacun de ses points décrit une circonférence, et l'on peut considérer la surface de révolution comme le lieu des circonférences de cercle qui ont leurs centres sur l'axe, leurs plans perpendiculaires à cet
axe, et qui rencontrent la courbe AB, Soient
ah
(,) cc = -z, y = -z
les équations de la droite OD, et
( ax -^ by -\- cz := ^
les équations du cercle mobile, considéré comme l'inlersection d'une sphère, ayant son centre au point O, et d'un plan perpendiculaire à l'axe OD.
Soient
' F, (.r, jr, z) — o
les équations de la courbe AB. En exprimant que le cercle et la courbe se rencontrent, on parviendra à une certaine relation
et si l'on élimine ensuite a et ê entre les équations (2) et (4), on aura
(}) ( jc^ -^ y^ -\-- z^ , ax -{- by -\- cz) ■=^ o
(5) ax -f- ^j -I- cz r= 4i ( X- -I- J^ + z^),
équation générale, en quantités finies, des surfaces de révolution.
673. Pour obtenir l'équaiion aux difTéreiUielles partielles, on difïérentiera Téquation (5), ce qui donnera
b+cq = 2cî.'(jc2 -f j2 4 ^2) (j ^ zq)y
d'où, en éliminant la fonction ^',
a -\- cp X -\- zp b -^ cq j -\- zq
et, par suite,
(6) [cy — hz^p-\-[az — cx)qz=.hx — «j,
équation aux différentielles partielles des surfaces de révolution.
674. Celte équation exprime que tou4es les normales d'une surface de révolution rencontrent l'axe.
En effet, si l'on élimine X, Y, Z entre les équations de la normale
( ^ — x-hp{Z-z) = o, ^^^ j Y-j + ^(Z-3)=.o,
et les équations de l'axe
on retrouve précisément l'équation (6).
