Soit une surface
rapportée à trois axes de coordonnées rectangulaires, et supposons le plan des xy liorizontal. On appelle lignes de nweaii les sections faites dans celte surface par des plans horizontaux. Une ligne de niveau aura donc pour équations
zr=r//, f{x,y) = h,
h désignant une constante. On tire de la seconde équation dx Uy dx
OU
dx cj
et cette relation entre les dérivées partielles p et q aura lieu quel que soit /ï. Ile exprime que la tangente à la ligne de niveau, en un point M de la surface, est parallèle à la trace horizontale du plan tangent mené à la surface par ce point.
Si l'équation de la surface était F(x, y, z) = o^ on obtiendrait l'équation différentielle des lignes de niveau en éliminant A entre les équations
dF \lY dr
^ '^' I ' dx dy dx
678. On appelle li^ne de plus grande pente d'une surface, une courbe qui, en chacun de ses points, a pour tangente celle des tangentes à la surface, en ce même point, qui fait le plus grand angle avec le plan horizontal. Quand la surface est plane, la ligne de plus grande pente est une droite perpendiculaire à la trace horizontale du plan. Dans le cas général, la tangente à la ligne de plus grande pente, en un point M de la surface, doit être perpendiculaire à la trace horizontale du plan tangent au point M. Par conséquent, la projection hoiizontale de cette tangente sera aussi perpendiculaire à la trace du plan langent.
Or, le plan tangent au point M {oc^y^ z) ayant pour
équation
les équations de sa trace seront
Zr=0, -z=p[-yi~x)-\-q{Y-x).
Le coefficient angulaire de cette trace est • Celui de
la projection de la tangente à la courbe de plus grande
CIIVQUANTE-DEUXIÈME LEÇON. 2o3
pente esl~- On aura donc ^ dx
dj__q dx p
OU
pdj z=: q dxj
équation différentielle qui représente les projections, sur le plan horizontal, de toutes les courbes de plus grande pente.
679. La tangente à la courbe de plus grande pente qui passe par le point M, étant perpendiculaire à la trace horizontale du plan tangent, est aussi perpendiculaire à la tangente menée à la courbe de niveau par le point M^ de sorte qu'î/zze ligne de plus grande pente coupe à angle droit toutes les lignes de niueauj, et réciproquement toute courbe qui jouit de cette propriété est une ligne de plus grande pente.
Il résulte de là que dans une surface de révolution dont l'axe est perpendiculaire au plan des jr^, tous les méridiens sont des lignes de plus grande pente, puisqu'ils coupent à angle droit les parallèles qui sont évidemment des courbes de niveau.
