Appliquons les théories précédentes à l'ellipsoïde

ac^ r^ z^

Les lignes de niveau seront représentées par les équations

elles ont donc pour projections, sur le plan des xj^ des ellipses semblables à l'ellipse principale qui est située dans ce plan.

Pour obtenir les lignes de plus grande pente, il faut in-

204 COURS d'akALYSE.

tégrer l'équation

(i) pdy~qdx.

Mais ici on a

En substituant dans l'équation (i) et simplifiant, on aura , , xdy ydx

équation dans laquelle les variables se séparent immédiatement. On a

dj dx 0^ zzr «- )

d'où

y est une constante qu'on détermine en exprimant que la courbe cherchée passe par un point donné. Par exemple, si l'on veut avoir la ligne de plus grande pente qui passe par le point dont les coordonnées sont

x=.a^ jmo. 2;=:o, on aura, en substituant dans l'équation (3) ,

d'où y = o. Donc

est l'équation de la projection horizontale de la ligne (herchée : en d'autres termes, la ligne de plus grande pente est l'ellipse principale située dans le plan des zx. il est évident, en effet, que cette ellipse coupe à angle droit toutes les courbes de niveau. Il en est de même de l'intersection de la surface par le plan des zj.

681. Si l'on cherchait la courbe de plus grande penîe passant par un sommet situé sur l'axe des 2, l'équation

(3) y^tv^r

CINQUANTE-DEUXIÈME LEÇON. 2o5

se réduirait pour ce point à

et ne déterminerait pas y. Cela doit être, car en ce point le plan tangent à la surface est horizontal, et la courbe de niveau se réduit à un point. Toute droite passant par ce sommet, et située dans le plan tangent, peut donc élre considérée comme perpendiculaire à la ligne de niveau, et, par suite, comme tangente à une ligne de plus grande pente.

SUITE DES APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES.

Surfaces développables. — Intégration de l'équation des surfaces développables. — Surfaces réglées. — Équation de la corde \ibrante.

DES SURFACES DÉVELOPPABLES.

682. On nomme surfaces développables celles qui étant supposées flexibles et inextensibles peuvent s'appliquer sur un plan sans déchirure ni duplicature. Telles sont les surfaces cylindriques et les surfaces coniques.

Toute surface développable peut être considérée comme étant le lieu des tangentes à une certaine courbe, nommée arête de rebroussement de la surface. Il n'y a d'exception que pour le cône, où l'arête de rebroussement se réduit à un point, et pour le cylindre, où cette courbe passe à l'infini; mais comme nous avons déjà examiné ces cas particuliers, nous en ferons abstraction dans ce qui suit.