Soient

les équations de l'arête de rebroussement. Les équations

de sa tangente en un point (a, 6, y) seront

(^^ lr-T(7) = 9'(7)(--7)-

En éliminant y entre ces équations, on aura l'équation de la surface développable. Mais au lieu d'opérer cette élimination qui ne peut se faire qu'en particularisant la forme des fonctions/et 9, nous allons cbercher une équation aux dérivées parlielles, indépendante de ces fonctions, et qui exprimera une propriété commune à toutes les surfaces développables.

68i. Les équations (2) clé l errai lient z et y quand x elj sont connus. On peut donc considérer z ely comme des fonctions de x et de j. En diflérentiant, tour à tour ces équations par rapport h x ei h y^ on aura

ou bien, en simplifiant,

, i=7?'(7)+?'V/)(2-7)^- En éliminant, entre ces quatre équations [z — y) — -> z — y) ~- et y, il restera une relation entre p et, «7,

(5) p=:zs{q),

équation du premier ordre qui convient à toutes les surfaces développables, mais dans laquelle il entre encore une fonction arbitraire.

685. Ce résultat s'accorde avec ce que nous avons trouvé pour les surfaces cylindriques dont l'équation aux différentielles partielles est

ap -t- bq :=!,

2o8 COURS d'analyse.

II semble qu'il y ait exception pour les surfaces couicjues dont l'équation aux dilTérentîclles partielles est

mais si l'on prend l'équation en quantités finies

z — c = cp ( ■ I (x — a)

on voit que z — c étant une fonction bomogène du premier degré de j^ — ^ et de Jc — a^p ax. q seront des fonctions bomogènes, et du degré o, des mêmes diirérences (1, 177) -, on aura donc

et.en éliminant ' ^ on obtiendra une relation entre p

et a. Cetle relation dépendra de la fonction c{), tandis que,

dans Féquation des surfaces cylindriques, la rebition

entre p et q ne dépend que des constantes qui définissent

la direction des génératrices.

686. L'élimination indiquée n° 684 peut se faire comme il suit. En ajoutant la première et la troisième équation du système (4), respectivement multipliées par

(5) i{l) = pU'{l)^"{l)-^'{l)f"{l)\

La seconde et la quatrième équation traitées de la même manière donnent

Il ne restera donc plus qu'à éliminer y entre les deux dernières étjuations.