Démontrons maintenant que l'équation (i) s'—ri = o

ne convient qu'aux surfaces développables.

Soient

l'équation du premier ordre qui résulte d'une première intégration, et

(3) ;^(.r,J, 2)=rO

l'équation obtenue en intégrant une seconde fois. Pour démontrer que la surface que cette dernière représente est développable, il faut faire voir qu'on peut la considérer comme le lieu des tangentes à une certaine courbe :

Or, a, S, y étant les coordonnées d'un point de celte courbe, on a vu (686) qu'on obtenait une relation entre p et q en éliminant y entre les deux équations

Pour que la surface développable dont l'arête de rebroussementest la courbe (4) coïncide avec la surface (3), il faut que l'élimination de y conduise à l'équaîion (2); par conséquent, on devra obtenir une identité si l'on porte dans l'équation (2) les valeurs de p et de q tirées des équations (5), et l'on aura ainsi une prenîière relation

entre les fonctions/ et cd. On en obtiendra une seconde

(7) y.\rhf'\i\ ?(7)]^o

en exprimant que la courbe (4) est sur la surface (3). Les équations (6) et (7) font connaître /(y) et 9(7). L'arête de rebroussement est donc complètement déterminée, d'où résulte que l'équation (3) représente bien une surface développable.

Aia COURS D ANALYSE.