Dilïérentions l'équation

tour à tour, par rapport à x et à j)^, en regardant <7 et a comme des fonctions de ces deux variables : nous aurons

, ^ cl a d'x

da do:

CINQUÀKTE-TROISIÈME LEÇON. 21 3

Ajoutons CCS équations respectivement multipliées par —

da ,

et — : en observant que

dx ^

dot. da doL da

dx df dy dx

puisque a et «sont fonctions l'un de l'autre, comme étant fonctions du même paramètre y {voir la Noie à la fin de la leçon), nous aurons

, , . da I da da

En différentiant l'équation y = hz + ê, et remarquant

dh dh • Il ^ dn da ,

que -— î -— sont proportionnelles a -—5 — -> on aura de

^ dx dy ^ ^ dx dy

même

, ^ . da . l da da \

a- ' /!• . 1 da da ,

01 maintenant on élimine le rapport -— : -;- entre les

^ ^ dx dy

équations (4) et (5), mises sous la forme da da

il viendra

(l — ap) (i — hq) — abpq = o,

(6) op -^ hq :=l,

équation difîérentielle du premier ordre, renfermant seulementdcuxfonctions,rtet^, derindéterminéey. En ayant égard à cette relation, les équations (4) et (5) peuvent s'écrire

, da da dy dx

, dh dh

h -r -ha —

dy dx

2l4 COLBS d'AKALYSE.

692. Cbeichons maintenant l'équation aux difieren» tielles partielles du second ordre. En différentiant, tour à tour, l'équation

par rapport à x et j , et posant

dp dq dp dq

~dx~^' d^'^lfy~^' <r~''

nous aurons

da dh

ar -h os -\~ p -— -{- q -— = Of d.r dx

da dh

as -\- bt -\- p --- -y q -r- ■= O.

dy clj

En ajoutant ces équations multipliées, la première par «,

la seconde par Z>, et en ayant égard aux équations (7),

nous aurons

a'^r H- lahs + h"-t = o,

a ou, en posant - = c,

(8) c^-r -^- les -^t z=.o,

équation du second ordre ne renfermant plus qu'une seule fonction arbitraire c.