La formule (3) du n° 696 peut s'écrire
p^ + 7^ ces 9
is
dx
Prenons maintenant le point (x, )'", z) pour origine des coordonnées, et pour plan des jrj le plan tangent k la surface en ce point. L'axe des z sera la normale, et l'on
aura;? = o, q^zo. En désignant par çf l'angle que la tangente OT fait avec l'axe des .r, on a
~di
dl dl
sm(p.
D'ailleurs, puisque le plan osculateur est normal, on a ces 9 = dt r, selon que le rayon de courbure est dirigé dans le sens de l'axe des z ou dans le sens opposé. On aura donc
r cos^ <» -h 2 ^ sin ^ cos '^ + / si n- ij» '
mais on peut supprimer le double signe et écrire sim-
CIISQUANTE-QUATRIÈME LEÇON. 323
plcnicnL
( 2 ) ûs:::z — — ,
pourvu que l'on convienne de porter la valeur ai)solue du rayon sur l'axe des z dans le sens des z positifs si le dénominateur est positif, et dans le sens opposé si ce dénominateur est négatif.
SECTIOjVS PRIJNCIPAI.ES.
701 . Si le plan normal tourne autour de l'axe des z, le rayon p variera en même temps que l'angle cp. Proposonsnous de trouver la plus grande et la plus petite valeur de ce rayon. Comme ces valeurs correspondent au minimum et au maximum du dénominateur dans la formule (a), il faudra égaler à o la dérivée de ce dénominateur: on
aura
{t— r) 2sin©cosçp-}-'2.v(cos'(p — sin'(p) — o,
ou, ce qui revient au môme,
(3) /tang2çp-+-(r — ;) tangy — ^ — o.
Cette équation donne pour tangcj) des valeurs réelles, dont le produit est égal à — i .
Comme d'ailleurs, en faisant varier l'angle (p de o à tt, on obtient tous les plans normaux qui passent par le point O, il suffira de considérer les deux angles plus petits que i8()*^ qui correspondent aux deux racines de l'équation. L'un étant désigné par a,
1 autre sera nécessairement — [- a.
Par conséquent, si l'on trace sur le plan des xj deux
droites OH et OK, faisant avec Ox les angles a et a -h -,
les sections normales situées dans les plans zOH, zOK,
correspondront aux rayons de courbure maximum et minimum. En effet, la dérivée du second ordre de - est
•2 (r — r) (cos^cp — sin'cp) — 8^sincpcoS(j),
et cette expression prend des valeurs égales et de signes contraires quand on y remplace cp par a et par a -f- -• Remarquons qu'il s'agit ici d'un maximum et d'un minimum analytiques, en sorte que si les deux valeurs de -i
correspondantes à a et a -f- - étaient de signes contraires,
celle qui serait un minimum négatif pourrait être un maximum en valeur absolue.
Les droites OU et OR, faisant avec l'axe Ox des angles
dontladifférenceest -> sont perpendiculaires entre elles.
Donc les plans zOll et zOK, qui déterminent sur la surface deux courbes planes à courbure maximum ou minimum, sont perpendiculaires entre eux. On donne aux sections faites par ces plans le nom de sections principales,
