VARIATION DE COURBURE DES SECTIONS NORMALES
70î2. Prenons maintenant pour plans des xz et des yz les plans des sections principales. Les valeurs de cp correspondant au maximum et au minimum du rayon de courbure devront être o et-- Or, l'équation
s tang^cp 4- [r — t) tanfjçp — s =z o
ne donnera pour tangc^ les valeurs o et co que si ^ == o Par conséquent, la valeur de p prendra la forme plus simple
" /-cos'cp H- ts'wV-'^
et l'on déduira de cette expression b^s deux rayons de courbure principaux p' et p" ^ en faisant, tour à tour, (p = o
CINQUANTE-QUATRIÈME LEÇON. 22:j
et (f = -9 ce qui donnera
OU bien
Âinsî, les dérivées partielles r et ^ représentent les deux courbures principales au point O.
703. Les valeurs de p' et de p" peuvent être introduites dans l'expression générale de la courbure. On a
- rz: /•ccs^(5p + ^sin'(j>; P donc
(a) - z=: — cos> -^ -; sin^çp,
formule qui donne la courbure dune section déterminée par un plan normal faisant, avec la section principale zOx, un ang^.e cp.
De là les conséquences suivantes. En premier lieu, l'expression (2) ne change pas quand on met à la place de tp son supplément : donc deux sections nortnales également inclinées sur une section principale ont des rayons de courbure égaux et de même signe.
Si l'on désigne par p^ le rayon de courbure d'une seclion normale perpendiculaire à celle qui fait avec le plan principal z Ox l'angle (f , on aura
(3) — = -r singes 4- -^, cos'œ,
et, en ajoutant les équations (2) et (3), il viendra
Donc la somme des courbures de deux sections normales perpendiculaires entre elles est constante,
70i. Nous allons maintenant discuter la valeur géné-
SruRM. — An.f U. l5
2U.6 COURS d'analyse.
raie de p en nous servant de la formule
ï cos'çp , sin^©
Supposons d'abord /d' et p'^ tous deux positifs, et p'^p". Dans ce cas, la formule (i) donne pour p une valeur toujours positive. Par conséquent, toutes les sections normales sont situées au-dessus du plan tangent, et la surface est convexe autour du point O. Si p' et p'^ étaient négatifs, la surface serait encore convexe, mais située au-dessous du plan langent.
En mettant l'équation (i) sous la forme
on voit que - augmente depuis - jusqu'à — ? quand c^ croît
de o à -, et que - décroit depuis — jusqu'à -? quand c{>
augmente de — a tt.
Dans le cas particulier où p' = p" ^ la formule (2) donne
ou p = p^ qnel que soît c^. Toutes les sections normales au point O ont donc la même courbure. On dit alors que ce point est un ombilic,
705. Supposons maintenant que p^ elp" aient des signes contraires et que p" soit négatif. En mettant les signes en évidence dans l'équation (1), nous aurons ^
I cos'<p sin^ ( o ) — ; 7, *
Pour (9 = o, on a ,0 = p'. L'angle cp croissant de o à la valeur 6 donnée par l'équation
tangos r=: 4,
p croît depuis p' jusqu'à l'infini. Au delà de çp = o, p devient négatif et de'croit jusqu'à p^\ valeur qui correspond
à (^z=L-. Les valeurs de p se reproduisent ensuite dans
l'ordre inverse.
Dans ce cas, la surface est en partie au-dessus du plan tangent, et en partie au-dessous.
DÉTERMINATION DES OMBILICS.
706. Pour trouver les ombilics d'une surface, il faut chercher les points où le rayon de courbure des sections normales a la même valeur, quel que soit le plan mené par la normale.
Reprenons la formule (i) du n^ 700 en y supposant COS0 = I, et en remplaçant dl^ par dx^ -\- dj^ -f- dz^ ; nous aurons
dx
Désignons par m, — ou le rapport des cosinus des
angles que la tangente à la courbe au point considéré fait avec l'axe des x et l'axe des j^. Comme
dz = /; dx -}- q djj
on aura
dz
et la formule (i) pourra s'écrire
R ^ v/i-t-/>^4-v^[i-i-/^^^-f- i/J + gmy] /•-h ism -f- tm^ ou bien
, , „ / : ; I -f- />^ -h ipqm -\- (l -h q
ism -h tm}
Quand le point est un ombilic, ce rayon est indépen-
dant du rapport m qui détermine le plan normal où est située la courbe considérée. On doit donc avoir
ce qui donne, en général, deux équations distinctes. En y joignant l'équation de la surface, on aura le nombre de relations nécessaires pour déterminer les coordonnées du point cherché.
