Lorsque les équations

T -h />2 pq I -h 7^

qui servent à déterminer les ombilics d'une surface donnée, se réduisent à une seule, la surface a une infinité d'ombilics situés sur une ligne qu'on nomme /a ligne des courbures sphériques. Si les équations (i) sont identiques, tous les points de la surface sont alors des ombilics.

Pour trouver une surface qui jouisse de cette propriété, observons que les équations (i), mises sous la forme

(2) ^ dp \ dq q dq I dp ^ ^ l -\- p^ dx q (Lt. \ -\- ([^ dy p dy ■

peuvent s'intégrer comme des équations ordinaires (643). On aura par ce moyen

(3) I-4-A^ = Yry% l-^r-q^^-^p\

Y étant une fonction arbitraire de j", et X une fonction arbitraire de x. On tire de ces équations

Mais p Gl q doivent satisfaire à l'équation -^ = -- : on

23o COURS d'analyse.

a donc

I û?X T dY

Le premier membre étant fonction de x seulement, et le second fonction de j, cette équation ne peut subsister qu'autant que chaque membre se réduit à une constante. Soit -- cette constante. On aura

Jrt.

et, en intégrant,

a et b étant des constantes arbitraires. En portant les valeurs de X et de Y, tirées de ces équations, dans le système (4), il vient

d'où

slW-

-[a-xf-

-Jf

-{a-xy~

fiz-

~.T)dx-^ [b

-{a-xy-

-jY

ran

t de nouveau,

équation d'une sphère. Ainsi, la sphère est la seule surface dont tous les points soient des omhdics.