THÉORIE DE L INDICATRICE

709. La courbure des surfaces peut être présentée sous un autre point de vue, qui donne une idée plus nette de la manière dont varient les rayons de courbure des sections normales autour d'un même point.

Prenons toujours pour plan des xj le plan tangent £ la surface au point O, et pour axe des z la normale en ce point.

Si l'on coupe la surface par un plan parallèle au plan tangent, et infiniment voisin de ce plan, la section obtenue sera une courbe infiniment petite, et du second degré, en négligeant des quantités infiniment petites par rapport à ses dimensions. En d'autres termes, une courbe semblable à la section faite par un plan parallèle au plan tangent, à une dislance h^ tend, à mesure que h diminue, vers une section conique.

En effet, si Ton développe l'ordonnée z de la surface par la série de Maclaurin, on aura

px -{- qX

s xy

ty'

Mais ^(j, p^ q^ qui représentent les valeurs de z, — 5 -j-

quand on fait simultanément j: = o, j = o, sont nulles d'après le cboix des axes. Donc, on a

w désignant une somme de termes dont le degré, par rapport à :r et à y, est supérieur au second. Si maintenant on remplace z par la constante 00' = /i, on aura l'équation de la section A'M'B', et si l'on fait h trèspetite, la quantité w devient négligeable comparativement aux termes qui la précèdent. Par conséquent, on a

(i) rx"^ -\- 1 s xy -\- tj^ ■=■ 1 h y

équation d'une ellipse ou d'une hyperbole infiniment petite dont le centre est au point O.

'^^2 COUBS d'analyse.