L'égalité p = — -—fait voir que les rayons do

courbure des différentes sections normales sont proportionnels à O'M'^. Supposons donc que sur la trace du plan

O' M' 2 ON dans le plan des xj on prenne ON = -, on aura

sji/i

0' M' p=zOl\^, De plus, le rapport sera constant poui-

toutes les sections normales. La courbe ANB ainsi obtenue sera donc semblable à A'M'B', et aura pour centre lo point O. Cette courbe, qui donne tous les rayons de courbure des sections normales faites au point O, est nommée V indicatrice de la surface en ce point.

CIJNQUANTE- CINQUIÈME LEÇON. 233

712. Quand rintcrsection de la surface par un plan parallèle au plan tangent, et infiniment voisin, est une lypeibole, il faut, en même temps, considérer une autre section produite par un second plan parallèle au plan tangent, de l'autre côté de ce plan. On obtient par là une hyperbole conjngi^ée de la première. Dans ce cas, l'indicatrice se compose de deux hyperboles conjuguées, et Ton a o = rizO]N^, suivant que l'hyperbole sur laquelle se trouve le point N correspond à une section faite au-dessus ou au-dessous du plan xy. Le rayon de courbure de la surface devient infini et change de signe quand le plan sécant, en tournant autour de la normale, vient passer par une asymptote commune aux deux hyperboles.

CONSÉQUENCES GÉOMÉTHIQUES.

713. Toute courbe du second degré douée d'un centre ayant un diamèlre maximum et un diamètre minimum, on en conclut que la surface a deux sections normales perpendicul aires entre elles et dans lesquelles le rajon do courbure est un maximum ou un minimum, La somme des carrés des inverses de deux diamètres perpendiculaires étant constante, il en résulte immédiatement que la somme des courbures de deux sections normales, perpendiculaires entre elles, est constante. En un mot, à toute propriété des diamètres d'une section conique, correspond une propriété des rayons de couibure des sections normales qui passent par les diamètres de l'iudicatrice.

714-, Quand l'indicatrice est un cercle, le point considéré est un ombilic. Cela arrive sur les surfaces du second ordre aux points où le plan tangent est parallèle aux sections circulaires. En eiïet, tous les plans parallèles déterminent, dans une pareille surface, des sections semblables. Il en résulte que l'indicatrice, qui en général n'est semblable qu'aux sections faites parallèlement au plan

tangent, à une distance infiniment petite, sera, dans les surfaces du second ordre, rigoureusement semblable aux sections, quelles que soient leurs distances au plan tangen t .

Ainsi dans l'ellipsoïde

a^ 0^ c^ il y a quatre ombilics dont les coordonnées sont

Ja'—b' , Jb'—c'

CAS OU l'expression du rayon de courbure se présente sous une forme illusoire.