La formule

r cos^ (f -h 2S sui cf cos cf -\- t sm^ «p

précédemment obtenue pour le rayon de courbure d'une section normale faisant avec le plan des xz un angle ^, dépend des valeurs des dérivées partielles du second ordre au point considéré de la surface. Nous avons tacitement admis que 7^, s et t avaient, en ce point, des valeurs déterminées et indépendantes de l'angle cp. Mais ces fonctions

se présentent quelquefois sous l'une des formes - ou —5

quand x^y et z deviennent nulles. Pour éviter l'indétermination, on posera

j=^lang9,

relation qui convient à tous les points de la section normale considérée 5 puis, après avoir porté cette valeur de j dans les expressions de r, 5, t, on fera x =^0. Soit, par exemple, l'équation

y désignant une fonction quelconque. Elle représente une

surface dont les sections normales à l'origine sont des paraboles ayant pour axe commun l'axe dès z. Les dérivées partielles du premier ordre sont :

et les dérivées du second ordre :

On a bien, en général, par ces formules, p =: o^ ^ = o, pour ;r ==^ 0,^ = o. Quant aux valeurs de /■, s, t, elles se présentent sous une forme indéterminée quand on laisse

X ctjx^ indépendants entre eux^ mais si l'on y remplace par tangtp, elles deviennent

r= 2/(tangrp) — 2 tang o/'(tang^) -f- tang2(p/''(tangç*),

s =i:/'(tangçp) — tangcp/'(tangcp),

?=/'^(tangç).

Il faut maintenant porter ces valeurs de r, 5, t, qui dépendent de çp, dans la formule

r cos^c? + 2 ^ sm 9 ces 9 -f- ^ sin^ ©

On doi t remarquer qu'en faisan t vari er l'angle ^ , le rayon de courbure peut avoir, selon la forme de la fonction y, un nombre quelconque de valeurs maximums ou minimums, et il y aura autant de maximums que de minimums puisque ces valeurs doivent se succéder alternativement

236 covRs d'analyse.

quand on fait varier 9 de o à 27:, et que la section normale revient à sa position primitive.