TANGENTES CONJUGUÉES

716. Soit MM' une courbe quelconque située sur une surface : imaginons les plans tangents menés par les points Fig. 12G. M et M^ Si le second point se rap-

proche indéfiniment du premier, l'intersection des deux plans variera de position et deviendra, à la limite, une certaine tangente à la surface passant par le point M.

Cette droite limite et la tangente MT à la courbe ÎMN sont dites tangentes conjuguées. Prenons pour origine le point M, pour plans des coordonnées xj^ xz^yz^ le plan tangent, et les plans des sections normales principales correspondant à ce point. On aura, au point M, x = o, j- = o, z =^ o, puis p = o, q = 0 et s = 0 (n° 702).

L'équation du plan tangent en M'[x'jj'\ z') est

p' et q' désignant les valeurs de p eX de q relatives au point M'. D'après la formule de Maclaurin, on a

z' z= px' -r- qf -\ ( rx'^ H- isx'f -^ty^) -\- . . . .

On aura donc, en négligeant des infiniment petits du troisième ordre,

Z'=:i(rx'= +<,").

On trouvera de môme

p'=rx', q' = tx'

Par suite, les équations des plans tangents menés aux

points M et M' seront

rx' (X -^œ')-V- tf (Y — r') -\- - [rx'^ -f- 1/') - Z = o.

Ces deux équations représentent l'intersection des deuxplans tangents. Or, si l'on porte dans la seconde la valeur Z =: o, on aura, en réduisant,

rx' X -t- // Y — ^ [r.x'^ 4- tj") ^ o.

Posons j}^'= mx\ m éiant le coefficient angulaire de la projection de la droite MM', qui, à la limite, se confond avec la tangente MT. L'équation précédente devient

rX -h ?A/2 Y x' (r H- tm^) ~ o,

et quand le point M^ se réunit au point M, on a x' = o, et

rX -h //;?Yr=o,

équation de la tangente conjuguée défini 3 plus haut. On voit que si m' désigne son coefficient angulaire, on a

tin ou

mm ■=

Telle est la relation qui doit exister entre les coefficients angulaires de deux tangentes conjuguées, quand on prend pour axes la normale et les intersections du plan langent avec les plans principaux.

717. Deux tangentes conjuguées sont parallèles h deux diamètres conjugués de V indicatrice. En effet, si

est réquation de l'indicatrice, on a, entre les coefficients

angulaires de deux diamètres conjugués, la relation

h' mm =zz .

On a d'ailleurs :702 et 711)

par conséquent,

mm :=. = •>

ce qui démontre le théorème énoncé. Les rayons de courbure étant proportionnels aux carrés des diamètres de l'indicatrice, il résulte d'une propriété bien connue des sections coniques que la somme algébrique des rayons de courbure correspondant à deux tangentes conjuguées est constante.

Note (p. 23 1). — Le cercle osculateur de la courbe OM'C au point O est la limite vers laquelle tend un cercle tangent à OT au point O, et passant par M', lorsque ce dernier point vient se réunir au point O. Le rayon de ce

cercle est —777^7 : on a donc 2 00'