EXPRESSION DE A

729. Proposons-nous de trouver l'expression de A"if en fonction de w, î^j. . . . , ii„. On a d'abord

Au =i Ui — // , A«, = «2 — Ui.

Mais

A^tt zz^ AUi — Au; donc

A'« -iz U2 — 2«, + W.

A^iti doit être composé avec Wg, «a, Wj, comme A^u avec ï/2j "i, M. On a donc

et en retranchant A^u de A^Ui ,

On trouvera de la même manière

AUt ziiz Ui — ^Us -+- 6u2 — 4 '^1 "+■ "5

et ainsi de suite. On voit que les coefficients numériques qui entrent dans l'expression des différences A^ii, A^z/, A*if, sont les coefficients des puissances deuxième, troisième, quatrième du binôme, d'où l'on conclut, en généralisant,

/ « (/7 il ,

(1) A"« =: Uf, «tt„, H Un-2 — . . . Zt «,

OU, sous une forme symbolique,

A"u=(u ~iY"\ égalité qui tiendra lieu de la précédente, pourvu qu'après

CINQUANTE- SEPTIÈME LEÇON. 25t»

avoir développé le second membre par la formule du binôme, on remplace a*^, zz% w',. . . , par //, ïfj, z/o , . . • . Pour démontrer la généralité de cette loi , posons

(2) ù>"u = II., — A M/j, -;- B tt„2 — C ««3 -h . . . =t «.

On aura également

( 3 ) A"u^ = if„^i — A Un -f- B «„, — c «„.2 H- . . . =b z/, ,

et, en retranchant A'*// de A"a< ,