DIFFÉRENCES DES FONCTIONS ENTIÈRES

732. Supposons maintenant que u soit une fonction entière de X du degré rn, et que m^, «ai "sj • • ' ? représentent les valeurs successives que prend celte fonction, quand on donne à x une suite d'accroissements égaux représentés par h. Soit

u = Aaf" 4- Bx'"-' -h Caf'"-'^ + . . . -f- Kx -I- L.

On aura

En développant el ordonnant par rapport à x, on aura un résultat de la forme

A // = m A /ix"'-' -1- B'.r^-^ H- C j;"'-^ -:-... -4- K'.

Le premier terme est du (m — ij'è""? degré, et son coefficient se forme en multipliant le coefficient du premier terme de u par Texposant de ce terme et par h.

En opérant de la même manière sur la différence première, il en résultera

^^a = m(m — i) kh^x'^-^ + Vi" af"-^ -{-... -I- F; on trouvera de même

LHi = m [m — i){m — i)kh^x"'-^ -i- B'^jc'"-' -+-... + W",

et ainsi de suite.

Le degré de chaque différence va en diminuant d'une

unité, d'où l'on conclut que la m'^'"^ sera constante et se

réduira au premier terme, dont la loi est connue. On

aura donc

Ainsi, les différences ni''"""' (Tune fonction entière du m'^'"" degré sont cons tantes ^ lorsque la ^variable croît par degrés égaux. Les différences suivantes sont donc nulles.