ET NOTATIONS

736. Le calcul inverse des difféi'ences a pour objet de déterminer une fonction quand on connaît sa différence finie, ou lorsqu'on a une relation entre cette fonction, quelques-unes de ses différences et la variable indépendante. Mais nous nous bornerons au premier cas

Soitx la variable indépendante dont l'accroissement A:r est supposé constant et égal à h 5 soientF (jr) la fonction inconnue clf(x) la différence donnée : on doit avoir

^Y[x)=f(x), ou Y{x-\-h)-Y(x)^f(x), La fonction F [x) dont la différence est/ [x] se représente parN /(x) , et se nomme V intégrale aux différences

26o COURS d'analyse.

finies def[x). D'après ces notations, les caractéristiques

% et A appliquées à la même fonction se détruisent, et

l'on a

737. Dans le calcul intégral ordinaire, quand on a obtenu une intégrale particulière d'une différentielle donnée, on ajoute à cette première solution une constante arbitraire pour former l'intégrale générale. Dans le calcul intégral aux différences finies, ce n'est pas une constante arbitraire qu'il faut ajouter à une intégrale particulière, mais la fonction la plus générale dont la différence est nulle. Ainsi ® (x) étant une fonction dont la différence estf[x), il faudra qu'on ait

F (x) = cp (a:) -h CT [x]j

^ [x) devant satisfaire à l'équation

Act (x) Z=ZZJ [x -{- h) C7 [x) Z= G.

La valeur de lafonctîon cy [x) est complètement arbitraire quand x varie depuis une valeur quelconque a jusqu'à la valeur a -H h. Pour les valeurs de x, qui ne sont pas comprises dans cet intervalle, la fonction cj [x) sera déterminée par la condition de reprendre la même valeur quand a: augmente de h. On la nomme, pour cette raison, nuQ fonction périodique.

Cette fonction peut être représentée par une courbe.

Prenons sur l'axe O^ des intervalles AA^, A'A^^,

Pil'A!"^, . ., égaux à h-^ puis, élevons les perpendiculaires

Fiîj. 129. égales AB, A'B', k"W',...,

Traçons à volonté l'arc

BMB^etsoitBB'B^'B'^..

une ligne composée d'un

nombre indéfini d'arcs

égaux à BMB'. L'ordonnée

de cette courbe aura la même valeur pour des valeurs

de X dont la différence est?«^, et représentera la fonction cherchée.

On aurait une fonction jouissant de la propriété en question, si l'on prenait

. . f . ITZ X lT:.r:\

CT (.r) z=z "V ( sin — — -, cos — - — j 9 Y désignant une fonction tout à fait arbitraire.