On peut trouver \ .x'", et plus généralement

f[x)^ par la série de Taylor. On a

ou

ce développement se termine de lui-même quand /"(a:) est une fonclion entière de x.

Si l'on intègre les deux membres, on a

et, si l'on pose /'(a:) = x'"+%

x^+' =:{m-hi) /i\ .x'"-h [m ■+- i)m -^ \ x'"-'

CINQUAISTE-HUITIÈME LEÇOINT. sGj

Pour déduire de là ^ x"\ il faut faire successivement

m = o, I, 2, 3, ... ; on aura, C désignant une fonction périodique ('737),

•r zrr: — H C,

bh 1 3 3o

La formule générale (738)

/(■^o) +/(-^^) -f-. • . -!-/(^„-.; = F(ar,) - F(xo)

permet de déduire de l'intégrale \ x"' la somme des

puissances nf'""'' des nombres i, 3, 3,. . ., w.

Si l'on fait /i = i, et qu'on donne à x les valeurs o, i,

2, 3,..-, Az, ce qui change \ x'" en > x"-l- .z'", on aura

On remarquera que la somme des cubes des n premiers nombres est le carré de la somme de ces nombres.