Soit

¥{x)=z ff(x)dx ou f[a:) —

dx

On a, par la formule deTayloF;

F(x + /,)-F(x)=//(x)+ iL/'(x)+ --J^/"M +. . . .

Donnant à x les valeurs a?o, Xi, Xa, . . • , Xa-\ et désignant Xn par X, il en résultera :

2y0 COURS D ANALYSE.

et, en ajoutant, membre à membre,

( F (X) -F (xj =/i[f{x,) -|-/(^.) + ... +/(x«.)]

Posons

Comme F(X) — F (Xq) n'est autre chose que l'intégrale définie def[x) dx, prise entre les limites Xo et X, l'égalité (i) pourra s'écrire

(1) f f{x) dx = h SAx) H- -^ S/'(.r) + -^ Sr{x) -1- . . .

Jx^ I.^ 1.2.0

Remplaçanty(x) successivement par/'^ (x),y^''(x).... dans l'égalité (2), on aura

r (X) -/''(^.) = A Sf"{.T) + -^ S/-(^) 4- . . .

Multipliant les égalités (2) et (3) pan, Ah, Bh^, C '^S-,., et ajoutant, il vient

j^ /(.r)./^+A/.[/(X}-/(^o)]+B/.H/'(X)- /Vt}] "" +CA3[/''(X)-r(^o )]+...

CINQUANTE-HUITIÈME LEÇON. 1'] i

Le second membre de celle égalilé se réduit à hSj\x)^ si l'on pose

d'où l'on lire

A-=— -, B:=— 5 C = 0, Dr= L., ]7 o

de là résulte

formule qui sert à représenter une somme au moyen d'une intégrale définie.