FORMULES D INTERPOLATION. FORMULE DE NEWTON

748. L'interpolation a pour objet de trouver une fonction d'une variable, connaissant les valeurs de cette fonction qui correspondent à un certain nombre de valeurs données de la variable. Ce problème est indéterminé tant qu'on ne fixe pas la forme de la fonction cherchée, car il revient à faire passer une courbe par des points donnés, ce qui peut se faire d'une infinité de manières, tant que la courbe n'est pas définie. Le problème de l'interpolation devient déterminé quand la forme de la fonction est donnée et qu'elle renferme autant de paramètres distincts qu'il y a de valeurs données de la fonction. Par exemple, si l'on se donne « -f- 1 valeurs d'une fonction entière du degré /z, correspondant a. n -\- i valeurs de la variable, on aura tz 4- i équations pour déterminer les n -I- I coefficients inconnus.

Nous examinerons d'abord le cas où les valeurs de la variable sont en progression arithmétique.

Soient donc

n-{- i valeurs d'une variable, et h leur différence constante. En choisissant convenablement l'origine des x, on pourra faire en sorte que

Xu = O, Xi=: /l, a-2 = 2 ^ , . . . , .rn = /i/i.

Soient

«0, «., «2, • . . , Un

les valeurs correspondantes d'une fonction u^ que nous supposerons entière et du ii'^'"" degré. A l'aide de ces valeurs on pourra former les différences successives AtZg, A^/o, A^wo, , A^wo. Mais on a (731 )

. it,.^ = «„ -4- m^Uo 4 A2«o -f-

Stuivm. — ^/i., II. l8

Ce développement de «,„ s'arrête de lui-même au terme qui contient A'"Wo, parce que les coefficients des termes suivants sont nuls. Ainsi, on peut le prolonger indéfiniment. En supposant m moindre que w, ou au plus égal à w, on peut écrire

!mim — \) I .2 7n(rn — i] {m — i). . Jm — n-\-i) 4- — ^ -^ ^ ^ A«w„.

Remplaçons w par -•> et posons

i xlx \ Ix \ à"u„

Le polynôme u se réduit évidemment à i/,,^ pour x == mh ; par conséquent, il prend les valeurs

lorsque x est égal à

G, h, 2A, . . . , nh,

et comme ce polynôme est du ^'^'"^ degré, il satisfait à toutes les conditions du problème.

La formule (2) est connue sous le nom de formule de Newton.

FORMULE DE LAGRAKGE.