Supposons maintenant que les valeurs données de :r

«^0? "^Ij ■'^2) • • ' 1 "^n>

soient quelconques. Posons

(i) M = A + Bx + C^-H-.. .H-Go?".

On a, pour déterminer les aï H- i coefficients A, B, . . . , G,

les /2 -4- I conditions

«0 = A + Bxo -f- C^^ + , . . + G

\ if, r= A 4- B^, -^ C.r J + . . . -{- Gx'l , (2) V «2 = A + Bar^-i-Gx^' +.. . + Gx«,

' «„ = A -+- B x„ + Cx^ + . . . -f G.r;^.

D'après les formules relatives aux équations du premier degré, les expressions des inconnues A, B, C,..., G. contiendront Uq, Wj , . . . , u^ au premier degré. En remplaçant A, B, G; ... 5 G, par leurs valeurs dans la fonction z/, et réunissant tous les termes qui renferment Wo ?«!?•••? w„, on aura donc

U= Putto-H Pi«i -+-^2^2-^' ' -1-Pn««,

Po, Pi, Pa, . . . , P„, étant des fonctions de a; et de Xq, ^Tj, X'a, . . . , Xn' Si l'on fait x = Xq^ dans la formule précédente, on doit trouver u =zUo^ ce qui exige que l'on ait

Po = 1 , P, = O, P2 =: G , . . . , P„ = O, pour X z= Xo,

car les quantités Uq, u^^u^y . . . , m„, n'ont aucune dépendance entre elles. De même, on aura

Po=:0, P, = 1, P,=:0,..., P„ = 0, pour a: = X„

et ainsi de suite.

La fonction Pq devra donc être nulle pour x = Xi^ X =^ Xi , . . , y X =. Xr., et comme elle est du n'^'"" degré, on peut écrire

Po =: K (x — Xi){x — a:,)...{x — x,,),

K étant un coefficient numérique. Mais Po doit être égal a l'unité pour x = Xq^ donc

d'où résulte

{x —xi](x—x^)...{x — x„ )

(^Q —Xi){Xo—X,)...{Xo-- x„)

9,y6 COURS d'analyse.

On trouvera de même

__ (.r — Xç,) [x — X2). , .{x — x„) p — (-^ -- ^0) (-^ — -^i) (.y — -a^s) • • • (-r — .r„)

et ainsi de suite. En portant ces valeurs dans l'expression de u, on aura la formule d'interpolation due à Lagrange,

(x — Xo) {x — .r,).

(x,-.ro)(.r,~x,).

Il n'existe pas d'autre fonction du n"""^ degré remplissant les conditions énoncées, car si Ton avait encore

if — A' H- B'x -h . . . 4-GV, il faudrait que la différence

devînt nulle pour les ii -f- 1 valeurs .Tq, Xi, x^, . . . ^ x„, ce qui est impossible, car une équation du /z'"'""' degré ne peut admettre plus de n racines.

750. La formule de Lagrange peut se déduire de la décomposition, en fractions simples, d'une fraction algébrique rationnelle ? dans laquelle le degré de o (x)

est moindre que celui dej'(x), et dont le dénominateur a toutes ses racines inégales.

Posons

(p [x) —-. w, /{x) = [x — xo] [x — Xi). . .[x — X,,] :

on a (I, 331) :

Mais cp (xo) = Wo et

Donc, si l'on multiplie les deux membres de l'égalité (4) par/'(a:), on trouvera que <p (x) est la somme de plusieurs termes de la forme

(.r — .r,) [x — .rjl . . . f.r -^ x„)

Un.

FORMULES d'approximation POUR LES QUADRATURES, RECTIFICATIONS, CUBATXJRES.

751. L'évaluation des aires, des longueurs, des volumes se ramène, en dernière analyse, à la détermination d'une ou de plusieurs intégrales définies relatives à une seule variable. Mais il est souvent impossible d'effectuer l'intégration indiquée, et il faut recourir à des formules d'approximation.

Supposons qu'il s'agisse d'évaluer l'intégrale

f[x) dVZ=zSy

ou l'aire de la courbe j =f[x) .

La formule d'Euler (746) offre un premier moyen d'obtenir une valeur approchée de cette intégrale. On peut aussi, à l'aide des formules d'interpolation, remplacer f{x) par une fonction entière du n''""^ degré que l'on intégrera, ce qui revient à remplacer la courbe j^=/^(x) par une parabole du n'^"" degré qui a tz -h i points communs avec elle. On peut encore prendre une suite de paraboles du second degré, et remplacer les parties corres-

27S COURS d'ATs^ALYSE.

pondantes de l'aire cherchée par celles de ces paraboles. C'est cette dernière méthode que nous allons développer. Partageons l'intervalle X — Xq en un nombre pair n de parties égales. Par les trois points de la courbe, {xq.Jo), (Xi -}-/z,/i), (xo-h 2.h^j^), faisons passer une parabole du second degré dont l'axe soit parallèle à Taxe des /, ce qui est toujours possible, comme on sait. Désignons par z l'abscisse comptée à partir du pied delà première ordonnée. L'équation de la parabole sera

et nous aurons

jo = A, j, — A-4-BA-I-CA2, j=^ = A-4-2B/i-{-4CA2; et ensuite,

r ydz= ^ [sa -h 3B^ -4- 4CâA

(A + 4A+4B/^^-4CÂ2^-A^-2BA^- 4c/i2);

par conséquent,

ydz—- (/o + 4/1 +72)-

On opérera de la même manière sur les autres parties de Taire, et l'on aura une valeur approchée de cette aire en faisant la somme de ces parties, savoir :

3 (jo + 4/' +/2) + 3 (r^ H- 4^3 + J4) + 3 {j4 + 4j5 + /e) + . . . + ^ (/«-2 + 4j«-. + j«) »

ce qui revient à

Cette formule est due à Thomas Simpson.