BUT DU CALCUL DES VARIATIONS

752. Dans les questions ordinaires de maximum el de minimum, on donne la forme d'une fonction d'une ou de plusieurs variables, et l'on cherche les valeurs particulières qu'il faut attribuer à ces variables pour que la valeur de la fonction diminue ou augmente lorsqu'on modifie très-peu ces variables. Dans le calcul des variations^ on considère une intégrale définie

qui renferme sous le signe / une variable x, une fonction inconnue j de cette variable, et quelques-unes de ses dérivées, et il faut trouver pour j- une fonction {[x) telle, que cette intégrale ait une valeur plus grande ou plus petite que si l'on remplaçait f(a:) par une fonction d'une forme tant soit peu différente. On voit en quoi les nouvelles questions se distinguent des questions ordinaires. Ce n'est pas une ou plusieurs valeurs particulières

"-iOO COURS D ANALYSE.

qu'il faut déterminer, mais la forme d'une certaine fonction inconnue, ou la valeur de y en fonction de x.

753. Plusieurs problèmes de géométrie conduisent à chercher le maximum ou le minimum d'une intégrale définie. En voici un exemple: Étant donnés deux points G et D, trousser une courbe plane GMD telle, que la surface de réi^olutioTi engendrée par le mouvement de cette courbe en tournant autour d'uji axe Ox situé dans son plan, soit un maximum ou un minimum.

Soit S la surface : en posant OA = Xq, OB = Xi, on aura (I, 442)

Fig.

n, Tt

^ z=z iTt \ y — dx, dx

Il faut donc trouver une fonction dea:,y = f(.r), telle, que l'intégrale précédente ait une valeur plus grande ou plus petite que toutes celles qu'on obtiendrait en modifiant infiniment peu la forme de la fonction f (a:).

754. La marche à suivre pour résoudre ces nouvelles questions diffère peu de celle qu'on a déjà suivie dans les questions ordinaires de maximum et de minimum. On suppose connue la fonction cherchée : on la fait varier infiniment peu, et l'on exprime que la valeur de l'intégrale augmente si cette intégrale doit être un minimum, ou diminue si elle doit être un maximum. Mais poiir arriver à ce résultat il faut trouver les accroissements ou variations de/ et des quantités qui en dépendent, quand on change la fonction de x qui exprime j^.