Soient
l'équation d'une courbe GMD, et
l'équation d'une autre courbe C'ND' qu on obtiendrait en faisant varier extrêmement peu la fonction f (x) . Si l'on appelle oy l'accroissement de l'ordonnée MP quand on Fig. i3i. passe à la seconde courbe, l'ab-
scisse restant la même, on aura
§X — NP — MP, ou
Cette différence dj est ce qu'on nomme la variation de l'ordonnée ou de la fonction.
On voit par là que la différentielle est l'accroissement de Fordonnée quand on passe du point M à un point infiniment voisin sur la même courbe, tandis que la variation est l'accroissement de cette même ordonnée quand on passe du point M à un point infiniment voisin sur une courbe infiniment peu différente de la courbe donnée.
756. On ramène les variations aux différentielles en regardanlj^ comme une fonction de x et d'un paramètre arbitraire t. Soit
et supposons que (p (jr, t) devienne f (x) pour une certaine valeur de ï, et que pour une valeur peu différente, t-\-^t^ cette fonction devienne §[x). En appelant 3j) l'accroissement infiniment petit de j^, lorsque t reçoit raccroissement ^f, on aura
•^ dt
Si, au contraire, t reste constant, on a
•^ djc
Ainsi (3y et dj sont les différentielles d'une même quantité; mais ^y est la différentielle de y considérée comme fonction de f, x restant la même; tandis que dj
est la différentielle dey considérée comme fonction de x,
t ne changeant pas.
757. Il est souvent nécessaire de faire varier, à la fois, X ety^ quand on passe de la courbe proposée à la courbe infiniment voisine. On représente alors par âx et par By les accroissements, d'ailleurs arbitraires, de ces deux variables. On peut, sans établir de liaison entre ces accroissements, regarder x et y comme des fonctions d'une variable indépendante m, et d'un certain paramètre t : soit
On supposera que pour une valeur particulière de t, par exemple t = o, y devienne une certaine fonction de X, f (x) et que x devienne une fonction quelconque de u^f[u). On aura donc
En faisant ensuite varier t d'une manière continue, à partir de o, la forme de la fonction de x, représentée par j-, changera insensiblement.
Pour avoir les variations de x et de y, on multipliera par àt les dérivées de ^(m, t) et de ^(m, t) par rapport à f, et l'on aura
au lieu que, si laissant à t une valeur constante on faisait varier w, on aurait
d.x :=. — du, dy :=: du,
du du
758. Lorsque x et y prennent les accroissements §x et ây, toute fonction U, qui dépend de x, dej^, et d'une ou de plusieurs dérivées dey par rapport à x, prend un accroissement correspondant AU. On appelle variation de U la partie de AU qui ne dépend que des premières puissances des variations ôx et ^y.
Or, d'après la formule de Taylor, on a dx dy
On aura donc
<ÎU = -— - ^^ H- -— ^y.
d.x dy
Si l'on considère x et j^ comme des fonctions d'une variable indépendante u et d'un paramètre f , on aura
dt — - désignant la dérivée par rapport à i^, de U considérée
dt
ci^-L
dv dcc comme fonction de j:, r, — -? — - — , • • ^ , et ces dernières
quantités comme fonctions de t.
759. On appelle variation seconde d'une fonction U la variation de ^U : on la désigne par d^U. La variation de cette dernière est appelée variation troisième de U et se désigne par (J^U, et ainsi de suite.
THÉORÈMES SUR LA PERMUTATION DES SIGNES ci ^T Ô . /ET ^.
760. La variation de la différentielle d"* une fonction de X est égale à la différentielle de la variation.
En effet, on a (758)
,dJ5 d\]
§d\] = —^ du§t, dSV = -— ^ duSt, dt du
Donc
ce qu'il fallait démontrer
284 courts d'analyse.
