SOUS LE SIGNE / NE DÉPEND PAS DES LIMITES

763. Proposons-nous de trouver la variation de l'intégrale définie

Ydx,

où Y désigne une fonction quelconque de x, de j et d'un ocrlain nombre de dérivées de j prises par rapport à x. Pour simplifier, nous supposerons que le nombre de ces dérivées se réduise à deux : soit

dy

dj dx

rt.r dx

D'après le théorème démontré (762), on a d'abord

Mais

^.Ydx = ^Y .dx ^y,^dx~^Y .dx-^Y.d^x.

Or, on a en général

jyd§x=zY§x— ÇsxdY.

Donc, si (V^x)o et (VJo:), désignent les valeurs de \âx

qui correspondent k x = Xq et k x = Xi, et si l'on pose

pour abréger,

on aura

(2) j \d§x=:{Y§a:)l~ f 'SxdY.

Substituant cette valeur dans l'ëquation (i) qui revient à

SU=r \sYeix-\-Yciex),

il en résultera

(3) eV — {YSx)l-i-j \§Yda:—ea:dY).

Par cette première transformation, la fonction V n'entre plus sous le signe / que par sa variation et par