LIGNE LA PLUS COURTE ENTRE DEUX POINTS DANS UN PLAN

780. On demande la ligne située dans un plan, passant par deux points A et B, et qui soit la plus courte quon puisse mener entre ces deux points.

Prenons deux axes rectangulaires dans ce plan, soient jTcJKo lt3s coordonnées du point A et x^j^i celles du point B. Dans cet exemple on doit avoir

\J i -{- p^ dx =z o

et (774)

mais (764)

K — N — — ^'Q dx dx^

N=:o. Pi=-=L=, Q = o.

Il faut donc qu'on ait

il s'ensuit

= const.,

Sjy-^p^

ou, ce qui revient au même, d'où

C et ÇJ étant deux constantes. D'ailleurs, il suffit que l'équation K ^= o soit satisfaite, puisque, les valeurs de X et àQ y relatives aux limites étant fixes, les variations ^Xo, ^/o5 «^«^n ^J\ sont nulles, et, par suite, on a iden-

SOIXANTIÈME LEÇON. 3oI

liquement F = o. La ligne cherchée est donc une ligne droite j les constantes C et C se détermineront parles équations

Fig. i32