SURFACE DE RÉVOLUTION MINIMUM
790. Etant donnés y dans le même plan, deux points A et B, et une droite CD, îroui^er une courhe AMB, située dans ce plan, et qui^ en tournant autour de CD, engendre une surface de révolution dont V aire soit la plus petite possible.
Prenons pour axe des x la droite CD, et pour axe des j^ une perpendiculaire à cette droite. Soient Xq^ Jo les coordonnées du point A, et x^, j^ celles du point B. La surface engendrée par AMB étant représentée par
2 71 / fds^ la question proposée revient à chercher le minimum de / J ds. Or, on a
§ j fdsz=l By(lsr=:z j §fds-{-f§ds',
Jx^ Jx^ Jx^
mais d'où donc
ds^ ■=. dx^ -h dy % ds^ds = dxddx H- df§df = dxdèx -\- dydBy,
SOIXANTE ET UNIÈME LEÇON. 3l5
et, en intégrant par parties,
ds -^ ds -" L Y es ^ ds
''^^[r^)-^^id(j±]-eycis.
11 faut égaler à zéro la quantité placée sous le signe ( dans le second membre, ce qui donne
Mais la seconde équation est une conséquence de la première. En effet, on a identiquement
car cette équation revient à
d.v ( dx\ dy , dy ^ rdr
ds y ds j ds ds ds *
ou
d^r i^'''' ^^^'\ ^ , (dx dx dy dy\
conséquence des équations
dx"" dy^
d.v dx dy dy
-rd-r-\-~d-^=o.
ds ds ds ds Il suffit donc de considérer Téquation (i), qui donne
dx
3i6 COURS d'analyse.
et, en résolvant par rapport à dx,
cdy
L'intégrale de cette équation est
d'où
l'on tire
équation d'une chaînette (574, 2°).
Les constantes c et c' se déterminent comme dans l'exemple précédent. Si Ton fait passer l'axe des j^ par le point le plus bas de la courbe, on a c' = o, et
(oc
Si les points A et B, au lieu d'être fixes, devaient se trouver sur deux courbes données, on obtiendrait encore une chaînette normale à ces deux courbes.
EXERCICES
1. Plus courte distance de deux points sur la surface d'un cylindre.
Solution : Courbe faisant avec les génératrices un angle constant.
2. Par nu les courbes planes qui, passant par deux points fixes y tournent autour du même axe situé dans le même plan et engendrent une surface dont Vaire est donnée, trouver celle qui donne lieu au volume maximum.
[f-b)dx
Solution : dx
sja'y-— [j'—bf
SUITE DES APPLICATIONS DU CALCUL DES VARIATIONS
Brachislochrone. — Remarques sur l'équation K=o. — Maximum ou minimum relatif. — Problèmes sur les isopérimètres.
BRACHISTOCHROKE.
791 . Problème. — Étant donnés deux points A et B, tromper la courbe AMB que doit suivre un point pesant pour aller du point A au point B dans le temps le plus court possible. Cette courbe s'appelle brachislochrone^ ou courbe de plus vite descente.
Prenons une verticale quelconque pour axe des x^ et deux axes rectangulaires Oz et Oy dans un plan horizontal quelconque. Si l'on suppose que le mobile soit parti du point A (^0,^0, ^o)î sans vitesse initiale, on aura, en désignan t par V sa vitesse au point M{x,y, 2^),
(l) V^=:2^(:r-.ro).
Mais s étant l'arc parcouru, et t le temps écoulé, on a
valeur qu'il faut prendre positivement, parce que l'arc augmente continuellement avec le temps. Il en résulte
Fig. i36.
3i8 COURS d'analyse.
sjig ^x — x^
On aura donc, en nommant T le temps nécessaire pour parcourir l'arc AB, et x^ l'abscisse du point B,
Il faut maintenant chercher la variation de l'intégrale
^1 ds
Jr»^i ds En posant
sjx — x^
on aura
§ Çxds= jSXds-^'K.dds, Mais
§X=:-~{x — Xo) '{dx — Sxo);
d'un autre côté,
§ds.= ~ddx-h^d§y + ^ dH, ds ds ds
Mettant ces valeurs dans l'équation (3) § jlLdsz=o,
on a
.rj ^ds
Intégrant par parties, et faisant sortir du signe / les
SOIXAKTE-DEUXIÈME LEÇOJV. 3ig
difTérentielles des variations, on a définitivement
H rj.v(.x —- Xo) ^ds \ = O.
Pour que la quantité placée sous le signe /dans la
seconde intégrale soit nulle, il faut égaler à o les coefficients des variations dx, dy, ^z, ce qui donne
(4) L[a^-a:,)'hs-^d(x~^=0,
(5) ■ .(x|) = o, .(xj).o.
Les deux dernières équations sont suffisantes; car on a identiquement
dx ^l^d.v\ dy J^dy\ dz I dz\
puisque
c^.?;2 -4- dy' -f- dz^
Mais
dX=-~
{x Xo)^
On aura donc, en ayant égard aux équations (5),
dx ( d.v\ I dx
dl'^V^dl)'^-^ ^'
{x — x^Y c'est-à-dire l'équation (4).
On tire des équations (5)
ds
ds
ou
(fi) ' ''"-
I dz
sjx — Xa ^^
^ ' ^/^-r,ds
d'où l'on déduit
'If.
dz
et
792. Cette équa^ûon montre d'abord que tous les points de la courbe sont dans un même plan vertical.
En remplaçant ds par <^dx^ -j- dj^ et C par — ^ pour l'homogénéité, on déduit de la première des équations (6)
dy r= dx
I X — Xo V/ a — X -\- Xq
Si l'on prend le plan de la courbe pour plan des xj^ et le point de départ A pour origine des coordonnées, on a Xq ■=■ o, et l'équation différentielle de la courbe se réduit à
(8) dr =
= dx^ /■
La cycloïde représentée par cette équation a un point de rebroussement au point A, sa base est horizontale, et le diamètre de son cercle générateur est égal à a. En intégrant l'équation (8), on a
y:=z - a arc ces y <
On déterminera la constante a, c'est-à-dire le diamètre du cercle générateur, en exprimant que la courbe passe
SOIXAMTE-DEUXIEME LEÇON. 321
par le point B(a;i,j^i). On peut aussi obtenir ce diamètre par la construction suivante. Décrivons une cycloïde quelconque ayant son sommet au point A et pour base A/5 soit h le point où AB rencontre cette courbe. A cause de la similitude des deux cycloïdes, c et C étant les centres des circonférences génératrices qui correspondent aux deux points h et B, les triangles ABC, Khc sont semblables. Or, les points ^, B et c étant connus, il suffira pour avoir le centre C de mener BC parallèle à èc jusqu'à la rencontre de Ac prolongé. ■♦.
Le temps employé par le mobile pour aller du point A
au point B, est égal à — - / —^ C^^^)? ^" prenant To-
rigine des coordonnées au point A. On aura donc, d'après l'équation de la courbe,
I r^^ \!ad.x la a — 2.r, , .
T=-^3=z / '-4^:==z = \ — arccos ! (1,350).
sllgJo sjax — x^ y ^S ^
793. Supposons maintenant que les deux points A et B, au lieu d'être donnés, soient assujettis à se trouver sur deux courbes données CD, EF. On obtient encore une cycloïde AMB, située dans un plan vertical. Pour déterminer les points A et B qui fixent sa position, il faut recourir à l'équation générale F := o, qui est, dans ce cas (791),
Comme les déplacements des points A et B sur les deux
Stlrm. — An.f II. 21
courbes sont indépendants l'un de l'autre, on a d'abord
cly „ dz
;r -h ~ dy
as
ds
Cette équation exprime que le cosinus de l'angle TBU est Fig. i38. nul, BT et BU étant les tan-
gentes menées par le point B l aux deux courbes EF et AB :
donc la cycloïde AMB coupe la courbe EF à angle droit.
Il faut maintenant égaler à o le reste du premier membre de l'équation F = o ; mais, auparavant, on peut simplifier cette équation. En effet, on a, pour tous les points de la courbe AMB (791),
dx
OU
ds
d'où l'on lire
ds
dx
Substituant cette valeur dans l'équation F = o, elle se réduit à
Cette équation peut être rendue symétrique par rapport aux variables. On a trouvé (791 ), G et C étant deux constantes,
donc
\ (/s ) ~ \ ds ) 0^ \ ds ) i \ dsjo
L'équation (2) devient alors
et, en divisant par Xi, facteur commun,
Cette dernière équation exprime que la tangente à la cycloïde au point B est perpendiculaire à la tangente menée à la courbe CD parle point A.
Les constantes et les inconnues Xo, /o? -2^05 •^"i?^!, ^1 se détermineront comme dans les exemples précédents.
REMARQUE SUR l'iWTÉGRATION DE l'ÉQUATION K = O.
794. C'est ici le lieu de placer quelques observations relatives à l'équation différentielle
I® Supposons que N soit nulle, c'est-à-dire que j n'entre pas explicitement dans V. L'équation (i) se réduit alors à
~"d^ ~^ ~dx^ ~ ^' d'où résulte
Cette équation n'est plus que du troisième ordre, si Vne contient pas de dérivées d'un ordre supérieur au second.
2° Si M = o, c'est-à-dire si x n'entre pas explicitement dans V, l'équation R = o se réduira encore au troisième ordre, en prenant j pour variable indépendante;
3sî4 COURS d'analyse.
mais on peut encore la réduire au troisième ordre de la
manière suivante. A cause de M = o, on a (764)
dY = Nr/j H- p,/p -f- Qdq ;
ailleurs
rO.
El
iminant
N entre ces équations, on aura
-+- Vdp
-h Qdq
— pdP + Pdp +(
/^ dx^
QÙ
(3) V.^P,.Q|-,gH-.,
équation du troisième ordre seulement.
3** Si l'on avait, à la fois, M = o, N = o,réquaiîon (3) se ramènerait au deuxième ordre. On aurait alors
dP d^q dx djc^ '
d'où
^ dx- '
et l'équation (3) deviendrait
(4) \=zqq-{~c'p-\-C.
Voici un problème dans lequel ces simplifications se présentent.
795. Problème. — Trouver' une courbe plane AMB telle y que V aire ACBD comprise entre Parc AMB, les rayons de courbure AQ et BD qui correspondent aux deux points extrêmes A et B, et la portion de développée CD comprise entre les centres de courbure C etD soit un minimum.
Il ne peut pas y avoir de maximum, puisque AB deve-
liant une ligne droite, la surface correspondante serait infinie. En prenant une courbe peu différente de cette droite, on aurait donc une aire aussi grande qu'on voudrait.
Soient MK et M'R' les rayons de courbure de deux Fig- 139. points infiniment voi-
sins M et M'. Le triangle infiniment petit MR'M' est égal à
-pds, en appelant p
le rayon de courbure MK, et ds l'arc infiniment petit MM'. On en conclut aisément que la surface en question a pour mesure
dx.
Xq et Xi étant les abscisses des points extrêmes A et B.
Comme la fonction V ne contient explicitement ni x ni j-, nous appliquerons la formule (794)
or,
on a donc
ou
fi
2ry^
fl-f-/?'?
z=zc/p-\-C.
Comme p =
P'V . . . , •) cette équation revient a
sji+p'
Soit 9 l'angle MT^ que fait la tangente MT au point M (oc,j) avec l'axe Ox : on a
tango =/?, sinQz=i — ■> cosG =
Par conséquent,
p z=. c'sinô -h ccosQ.
Soient a Gl a deux nouvelles constantes, telles que
cr= — a«sina, c'=:2«cosa, on aura
sina= — — -; cosa =: — = — •,
sic" H- c" s/c' -i- c"
on a ainsi
(3) p = 2flsin(0 — a).
Prenons deux nouveaux axes rectangulaires Oo:' et Oj', tels quex'Oa: = a.
Si l'on fait Q — a — 0', on aura
p z=z ia
sinô'.
Formons l'équation différentielle qui convient à ces nouveaux axes. On a
tango ^ ^,
d'où
sinG'
'Il
dx
Remplaçons p par ^2 ' valeur qui suppose la
djc'
courbe concave vers l'axe des a: : on a
équation différentielle de la courbe cherchée, par rapport aux nouveaux axes. On tire de cette équation
dx =
ad --—
d'où
dx
dx!"
En supposant la constante c connue, on peut imaginer que Taxe des y soit transporté parallèlement à lui-même, de telle sorte que toutes les anciennes abscisses soient diminuées de c. L'équation différentielle de la courbe esî alors
ou
(6) rfr = .;xy'f,.
La courbe cherchée est donc une cycloïde dont l'axe est dirigé suivant l'axe des x, et dont la tangente au sommet est l'axe des j^.
Pour déterminer les constantes, au nombre de quatre, que renferme l'équation de la courbe rapportée aux anciens axes, il faut distinguer plusieurs cas :
1° Si les points A et B sont donnés ainsi que les tangentes à la courbe en ces points, Téquation F == o est satisfaite identiquement-, car on a ^x^ = o, ^j ^ = o, ^p^ = 0,.... On aura les quatre constantes en substituant
les coordonnées des points A et B dans l'équation de la courbe, et en exprimant que les tangentes en ces points sont données.
2° Si l'on donne les points A et B, sans donner les tanî^entes à la courbe en ces deux points, Féquation F ==: o deviendra
Q. <îp. — Qo ^po = o, i
et comme les variations dj7^ et dp^ sont indépendantes lune de l'autre, il faut que l'on ait séparément
Q, — o, Qu = o; on a trouvé, généralement,
2<7^ et comme i -\- p^ ne peut pas être nul, il faut que l'on ait
On déduit de là que le rayon de courbure est nul aux points A et B : ces points sont donc les points de rebroussement de la cycloïde.
3° On peut se donner le point A ainsi que la tangente à la cycloïde en ce point, et supposer que le point B doive se trouver sur une courbe donnée
Dans ce cas l'équation F = o se compose de deux parlies : un terme contenant âxi, et le terme Qi dpi] dxi et Spi étant des variables indépendantes, on doit avoir Qj =: o, d'où ^1 = 00 . Ainsi, le point B est encore un point de rebroussement de la cycloïde.
MAXIMUM ou MINIMUM RELATIF.
796. Dans les questions précédentes, il s'agissait de rendre maximum ou minimum une intégrale définie
/ \dx^ sans autre condition. On peut ajouter au problème la condition qu'une autre intégrale définie \}dx ait une valeur déterminée /. Par exemple, soit
proposé de trouver parmi toutes les courbes planes de même longueur /, terminées à deux points A et B, celle dont l'aire comprise entre cette courbe, l'axe des abscisses et les deux ordonnées extrêmes est un maximum. La question consiste à déterminer j en fonction de x^ de telle sorte qu'ayant
dx sji -]- p^ = l.
l'intégrale / jdx ait une valeur plus grande, ou plus
petite, que si l'on remplaçaitj^ par toute autre fonction de X satisfaisant à l'équation précédente. On dit alors que Tintégrale admet un maximum^ ou un minimum, relatif.
797. Supposons qu'il s'agisse de rendre maximum l'in- I \dx^ avec la condition
(l) r 'U^xr=/.
Les variations de ces intégrales doivent être nulles, si l'on compare la fonction de x cherchée avec celles qui
conservent
'\}dx la
même
va
avoir
\dx~o,
dx
En développant ces deux conditions comme on l'a fait
33o COURS d'analyse.
pour le maximum absolu, on a deux équations, telles que
(3) ^~^ f 'l^wrf.r=::0,
(4) e-f- / *Lw^.r--o;
r, 0, K et L sont des fonctions que l'on formera comme il a été dit plus haut. Mais ici il ne faut plus poser séparément r = o, K = o, car 0) n'est plus une fonction entièrement arbitraire de x. Pour trouver les conditions qui doivent êire remplies dans ce cas, il faut d'abord éliminer 0). Posons
(5) I L M dx = (f [x] y
d'où
Par conséquent,
0 H- (p (x,) =z O, ou '^(x,)=: — 0.
Il résulte de là, à cause de l'indétermination de w, que fp [x) est une fonction arbitraire de x^ assujettie seulement à s'annuler pour x == Xq, et à devenir égale à — 0 pour x :^ Xj. Or, on a, à cause de l'équation (5),
L ci.r
Portant cette valeur dans l'équation (3), il vient
r H- / j-df (x) := O,
OU, en intégrant par parties,
Comme cp [x) est une fonction arbitraire dont on donne
les valeurs seulement pour x = Xo, x = j^i, on doit avoir séparément les équations
(8) --(ï),«-°- La première donne
— = — « ou K -f- « L ==: o, JL
a désignant une constante arbitraire. La seconde condition devient F -h aQ = o, car ( — j = — a, puisque — a une valeur constante — a. On a donc les deux équations
(9) r-f «0 = 0, K-h«L=rO.
Il y aura une constante de plus que dans le cas où l'on cherche un minimum absolu, mais on a aussi une équation de plus
